Beweisen, dass Matrizen eine Basen von einer anderen Matrix sind

Question

Aufgabe:

Es sei

$$S ( 2 ) : = \left\{ \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right) \in M ( 2 \times 2 ; \mathbb { R } ) | b = c \right\}$$

der Vektorraum der symmetrischen 2x2 - Matrix mit Einträgen in den reellen Zahlen.

Zeigen sie, dass

$$\mathcal { B } : = \left( \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \right)$$

eine Basis von S(2) ist.

Bestimmen Sie

$$\Phi _ { \mathcal { B } } ^ { - 1 } \left( \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { b } & { d } \end{array} \right) \right)$$

für a,b,d als Elemente aus den reellen Zahlen.

Answer 1

Hallo

 a)du musst doch nur zeigen , dass man die allgemeine Matrix durch Linearkombination der 3 Basen bekommt, und diese Linearkombination hinschreiben.

b) das Reziproke ist ja bei einer 2 x 2 Matrix sehr schnell zu finden.

Gruß  lul