Varianten von Basen: Linearkombination beweisen

Question

Aufgabe:

Varianten von Basen

Sei \( B=\left\{\vec{b}_{1}, \ldots, \vec{b}_{n}\right\} \) eine Basis des Vektorraums über \( \mathbb{R}^{n} \). Sei \( \vec{V} \in \mathbb{R}^{n} \) mit \( \vec{v} \neq \overrightarrow{0}, \vec{v} \notin B \).

a) Zeigen Sie, dass Sie einen beliebigen Vektor \( \vec{b}_{i} \in B \) als Linearkombination der Vektoren \( \left\{B \backslash \vec{b}_{i}\right\} \cup \vec{v} \) darstellen können.

b) Welche überaus praktischen Schlussfolgerungen können damit abgeleitet werden für B und eine beliebige linear unabhängige Menge \( S=\left\{\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{m}\right\} \) mit \( v_{i} \in \mathbb{R}^{n} \). Begründen Sie kurz informell.

c) Gilt diese Schlussfolgerung nur für Vektorräume über \( \mathbb{R}^{n} \)? Begründung?

Answer 1

Hallo

 schreibe

$$v=\sum_{k=0}^n r_ib_i \qquad\text{dann ist die Behauptung}\quad b_i=av+\sum_{k\neq i }^n c_kb_k=a(\sum_{k=0}^n r_ib_i)+\sum_{k\neq i }^n c_kb_k$$

das kann man nach b_i auflösen  oder direkt $$v=\sum_{k=0}^n r_ib_i$$ nach b_i auflösen.

Gruß lul