Ortskurve der Wendepunkte der e Funktion bestimmen. ft(x) = 2x/t * e^(t-x) mit t > 0

Question

Aufgabe: bestimme die Ortskurve auf der alle wende Punkte liegen

Problem/Ansatz:

Meine Funktion ist f_t(x) = 2x/t * e^(t-x) mit t > 0

Mein Wendepunkt ist ( 2 | -4/t*e^(t-2)) in Abhängigkeit von t

Wie bestimme ich jetzt die Ortskurve ?

Comments

f_t(x) = 2x/t * e^t - x 

das ist eine Gerade!

du meinst wohl  f_t(x) = 2x/t * e^t-x    ?

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Woher weiß ich denn dass es eine gerade ist?

Und ja das meinte habe mich vertippt das Minus Zeichen fehlt davor

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das Minus Zeichen fehlt davor

Also f(x) = - 2x/t * e^{t - x}  ?

Answer 1

Hallo Alissa,

mit  f(x)  = - 2x/t * e^{t - x}   ist dein Wendepunkt richtig.

W( 2 |  - 4/t * e^t-2 )

die Wendepunkte haben alle die x-Koordinate 2. Sie liegen auf der Senkrechten zur x-Achse durch (2|0)

Deshalb ist die Gerade x = 2  eine  Ortskurve  für die Wendepunkte

vgl. unten meinen Kommentar

Gruß Wolfgang

Comments

In meinen Lösung steht zusätzlich es ist eine halbgerade zwischen -1,47 und -unendlich

Was ist denn eine halbgerade und wie ermittel ich das ?

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In meinen Lösung steht zusätzlich es ist eine halbgerade zwischen -1,47 und -unendlich

Ich hatte t>0  nicht berücksichtigt  (#)

Wikepedia sieht den Begriff "Ortskurve" allerdings nicht so eng:
https://de.wikipedia.org/wiki/Ortskurve_(Kurvendiskussion)
Danach wäre die ganze Gerade x = 2  auch eine Ortskurve.

Der y-Wert der WP strebt für  t →   0   gegen   - ∞  

                                  und für   t →  ∞   gegen   - ∞

Deshalb muss es in  ] 0 , ∞ [  einen  t-wert geben,   für den der maximale  y-Wert des WP  -1,47  beträgt.

Das ist beim Maximum von g(t) = - 4/t·e^{t - 2}  für t=1  tatsächlich der Fall

max(  - 4/t ·e^{t - 2)} )  = -4 * e^-1  ≈  -1,47

Die Wendepunkte liegen alle auf der Geraden x=2, aber unterhalb von y ≈ -1,47

Das ist eine Halbgerade  (ohne Anfangspunkt)

#

Nachtrag:

Der "Geometrische Ort" aller WP ist hier allerdings die beschriebene Halbgerade:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Ort

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Hallo Alissa,

habe deine Nachfragen in einem Kommentar beantwortet.

Dieser war unter den anderen Kommentaren (inzwischen zum Teil gelöscht) schwer zu finden: Es ist der längste :-)

Eigentlich hätte ich von dir eine Reaktion erwartet!

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Das vewirrt mich komplett :/ danke dass du dir so viel Mühe gibst aber ich versteh nicht wieso es -1,47 sein muss nur weil bei x—> 0   T—> - unendlich strebt...

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Der y-Wert der Wendepunkte  W_t( 2 |  - 4/t • e^t-2 )

nimmt für  t ∈ ] 0 ,∞ [   nicht alle Werte aus ℝ an, denn

die GW  für  t → 0⁺  und für t → ∞   sind beide   - ∞

Wenn du aber die Funktion  y(t) = - 4/t • e^t-2  ableitest, liefert  y'(t) = 0 →  t=1

beim Einsetzen von t=1 den maximalen y-Wert:   y_W  =  -4 · e^-1  ≈  -1,47

Alle y-Werte der Wendepunkte auf der Geraden x = 2  liegen  also in  ] -∞ ; - 1,47 [