Wie bestimmt man K(x) einer Abbildung?

Question

$$Eine\quad Lineare\quad Abbildung\quad K:{ R }_{ \le 1 }[x]\rightarrow { R }^{ 2 }\quad ist\quad durch\quad die\quad folgenden\quad Bilder\quad gegeben\\ K(x+1)=(\begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix}),\quad K(x+2)=(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})\\ Aufgabe:\\ Bestimmen\quad Sie\quad K(x)\quad und\quad K(2x).\\ \\ Meine\quad Versuch:\\ K\quad ist\quad ja\quad definiert\quad durch\quad { R }_{ \le 1 }[x]\rightarrow { R }^{ 2 },\quad a{ x }^{ 2 }+b\rightarrow (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}),\quad \\ Könnte\quad es\quad damit\quad was\quad zu\quad tun\quad haben?$$

Answer 1

Definitionsmenge: Funktionen von Grad ≤ 1. D.h. mx + q

Wertemenge: Elemente von R^2 , d.h. 2-dim. Vektoren oder Punkte.

Du solltest x und auch 2x als Linearkombination von (x+1) und (x+2) darstellen. Danach kannst du K(x) und K(2x) berechnen.

Ansatz:

a(x+1) + b(x+2) = x

Vereinfachen

ax + a + bx + 2b = 1x + 0

[spoiler]

Zwei Gleichungen entnehmen

a + b = 1        (I)

a + 2b = 0        (II)

----------------------(II) -(I)

b = -1

2a + 2b = 2        (2I)
a + 2b = 0        (II)
----------------------(2I) - (II)

a= 2

K(x) = 2*K(x+1) - 1K(x+2)

= 2*(2, -1) - (2,1)

= (4,-2) - (2, 1)

=(2, -3)

Bitte erst mal nachrechnen.

K(2x) berechnest du dann selber.