Differentialgleichung y' = (x*y-3x-y+3) / (x²-5x+6) lösen. Trennung der Variablen?

Question

Aufgabe:

y' = (x*y-3x-y+3) / (x²-5x+6)

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht, die Aufgabe mit der Trennung der Variablen zu lösen, habe es aber nicht geschafft, die Variablen zu trennen. Wie sollte man hier vorgehen?

Comments

Manchmal kann man faktorisieren und kürzen.

Scheint aber hier nicht zu klappen, falls du richtig abgeschrieben hast. https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x*y-3x-y%2B3)+%2F+(x²-5x%2B6)

Vielleicht doch eine Idee von hier?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'+%3D+(x*y-3x-y%2B3)+%2F+(x²-5x%2B6)

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Hilft dir diese Umformung weiter?

y'=(y-3)(x-1)/(x²+5x+6)

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Möglicherweise das hier?

Würde aber erst mal die gegebene Gleichung prüfen.

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Mithilfe der Umformung komme ich auf

ln(y-3) = -ln(x-2) + 1/2*ln(x-3) + 1/2*ln(x-1) + ln(C)

stimmt das so bis jetzt?

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Hatte einen Fehler drin. Hab nach dem integrieren jetzt das raus:

ln(y-3) = -ln(x-2)+2*ln(x-3)+ln(C)

Das ist dann nach y umgeformt

y = C * ( ((x-3)^2) /  (x-2) ) + 3

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Habe jetzt nicht nachgerechnet. Mit ln musst du etwas aufpassen, z.B. Beträge setzen oder Fallunterscheidungen machen, damit du den Definitionsbereich nicht unnötig einschränkst.

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EDIT: Hatte deine zweite Antwort noch nicht gesehen. Du kannst sie durch Einsetzen in der gegebenen Gleichung prüfen.

Der Rechenweg ohne Beträge kann etwas abenteuerlich aussehen. Definitionslücken vielleicht noch ansehen.

Answer 1

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Comments

Warum genügt eigentlich eine einzige Integrationskonstante im Resultat trotz Definitionslücke in y(x) ?