LR Zerlegung - Matrizen berechnen

Question

ich muss folgendes bearbeiten:

Aufgabe:

Berechnen Sie die LR-Zerlegung von \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix} \)

Mit einer LR-Zerlegung meinen wir eine Zerlegung A = LR mit einer oberen (rechten) Dreiecksmatrix R mit 1 auf der Diagonalen und einer unteren (linken) Dreiecksmatrix L.
Hinweis: Wenden Sie die Gauß-Elimination für Zeilen an, um  A in eine oberen Dreiecksmatrix mit 1 auf der Diagonalen zu überführen und überlegen Sie sich, wie die passende untere Dreiecksmatrix L aussehen muss

Problem/Ansatz:

Die LR Zerlegung habe ich bereits berechnet: 

L = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \)

R =  \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)

Doch ist dies alles was gefordert war?

Answer 1

Hast Du den Gauss in den Zwischenschritten (Matrizen) L_i aufgehoben?

Ich denke, das fehlt noch was

>oberen (rechten) Dreiecksmatrix R mit 1 auf der Diagonalen und einer unteren (linken) Dreiecksmatrix L. 

üblicher weise bleiben die 1en auf den L_i, also links

Nachtrag: L passt nicht...

Comments

Danke für die Rückmeldung

Also ich habe die gegebene Matrix neben die Einheitsmatrix \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} \) geschrieben und dann so umgeformt, dass ich bei a21, a31 und a32 0en habe. 

Irgendwie ist mir unklar, wie ich das stattdessen machen soll. Muss ich noch als zusätzliche Schritte bei R in Zeile II und III durch -2 bzw. 2 teilen, damit da 1en auf der Diagonale stehen?

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Hm,

schau doch mal da

https://www.mathelounge.de/595514/brechnung-inversen-matrix-durch-umformung-zeilen-tauschen#c595858

vorbei, da haben wir die Schritte zur Umsetzung des Gauss diskutiert.

Ich komm auf

\(A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\2&-2&0\\0&2&2\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}1&1&2\\0&1&\frac{3}{2}\\0&0&1\\\end{array}\right) \)

wenn ich die R Diagonale auf 1en bringe - war doch gefordert?

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Hi, 

also ich habe das ganze nochmal nachgerechnet und komme auf folgendes: 



Was mache ich falsch?

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Das sieht gut aus, Du machst nichts falsch - es fehlt nur ein Schritt. Du hast

L' | L' A

also 

L' A = R  ===> A=?

Wie ich schon in dem Link-Beitrag sage, diese Strichschreibweise verschleiert, was Du eigentlich machst...

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Tut mir wirklich leid, aber mir ist nicht ganz klar was du meint.. 

Nur damit ich es richtig verstehe: die Rechte Matrix ist L' * A und das ist R. Ich suche jetzt noch A?

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Muss Dir nicht leid tun ;-)...
Du sollst doch A = L R darstellen durch eine linke (untere Dreiecksmatrix) L und eine rechte (obere Dreickmatrix) R !

Wenn Du den Gauss in dieser Schreibweise notierst, dann kommst Du auf

Deine Tabelle. Aus E ==> L' und aus A ===> R
Ich hab oben nicht gesehen, dass Du E links und A rechts hast - ich machs immer umgekehrt - deshalb nochmal deutlich:

Du hast A mit jedem Schritt i mit einer Matrix L_i multipliziert (die Deine Zeilenoperationen durchführen). Die L_i sind zusammengefasst L'. Wenn Du Deine Schreibe jetzt wieder in eine Matrixgleichungen auflöst, hast Du

L' A = R  

in Prosa: R entsteht aus A durch Zeilenadditionen notiert in L'.

Die Gleichung muss Du nun umformen um A zu erhalten!

Schaffst Du das?

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Hi, ich habe mir das nochmal angesehen und mir gedacht, dass man die Gleichung dann ja vielleicht einfach "umformen" kann? Und dann A = R / L' ist? Dementsprechend wäre A = R * L'-1 und wenn ich das berechne komme ich auf: 

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1/2 & 0 \\ -1 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1/2 \\ 0 & 1 & -3/2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1/2 \\ 1 & -3/2 & 1/4 \\ -1 & 3/2 & 1/4 \end{pmatrix} \) 

Kann man das so machen?

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Neiiin,

Matrizenoperationen sind NICHT kommutativ: A B ≠ B A

Du musst auf der linken Seiten anfangen, weil von links ergibt sich L'^-1 L' = E, von rechts kommst Du an L' garnich ran - da ist A im Weg....

L'^-1 L' A = L'^-1 R ===> A = L'^-1 R

\(A = \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\2&-2&0\\0&2&2\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}1&1&2\\0&1&\frac{3}{2}\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

Wie oben schon gesagt

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Gut, dann habe ich es jetzt so in etwa verstanden und A lautet demnach \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 8 \end{pmatrix} \)

Vielen Dank für deine Zeit!

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Naja, A ist gegeben, Deine Antwort muss lauten

L=

R=

mit L R = A

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Kann gelöscht werden.

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Hi, du hast natürlich Recht. Also R habe ich ja schon bestimmt. 

Nun fehlt mir ja weiterhin L. Ich habe nochmal ein bisschen im Internet recherchiert und versucht das besser zu verstehen und meine eine relativ gute Anleitung gefunden zu haben.

https://matheraum.de/read?t=403628&v=t#i403930 



Wenn ich aber nun wie dort beschrieben mein E1, E2 und E3 miteinander multipliziere um L zu erhalten, dann komme ich nicht auf das richtige Ergebnis, was du schon gepostet hattest..

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Ich versteht Dein Problem nicht richtig,

Du hast doch schon ein Ergebnis vorgestellt, das teilrichtig ist →

Da fehlte nur ein Schritt, die Diagonale von R auf 1 bringen.

Hast Du dann auch ergänzt →

und mit dem Ergebnis → jetzt weiter wie bei →.

Wo hackt es?

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Hi, es hakt bei dem Schritt "Jetzt weiter wie bei →" (roter Pfeil)

R ist soweit klar, da lag es ja "nur" an den Disgonalelementen. Aber das L dazu, das bereitet mir die Schwierigkeiten..

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Dann frage ich mich, wie Du auf Dein L in dem roten Schritt gekommen bist?

Und versuche Dir irgendwie klar zu machen, dass das linke Dingens (hab ich L' genannt, steht in der grünen Pfeilzeile ganz links am Anfang) zu invertieren ist, um L zu erhalten. Was verstehst Du an der Darstellung

L' A = R ===> A = L'^-1 R ===> L=L'^-1

nicht?

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also ich habe mich gestern ja wirklich ziemlich blöd angestellt. Also ich habe mir das eben nochmal angeschaut und in Ruhe gerechnet. 

Ich habe mit dem Ansatz den ich als Bild gepostet hatte dann weiter gerechnet. L' habe ich zu L'-1 umgeformt und somit L bestimmt und komme auf das gleiche L, was du bereits zuvor genannt hattest, nachdem ich bei R auf der Diagonalen 1en habe. 

Dementsprechend habe ich die Aufgabe jetzt gelöst und verstanden. Danke nochmals! :)

Answer 2

Hi,

du hast richtig gerechnet! Wenn ich die LR-Zerlegung durchführe komme ich auch auf deine Ergebnisse!

Eine Probe ist

$$ L \cdot R = A $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix} $$

Viel Erfolg!

Comments

so weit so gut, aber die Aufgabenstellung lautet

mit einer oberen (rechten) Dreiecksmatrix R mit 1 auf der Diagonalen