Wie schätzt man ein Restglied richtig ab, was ist das Ziel?
Wie man es macht, hängt zunächst einmal davon ab, welche Art von Restgliedformel du heranziehst. Aber in der Regel wird die von Lagrange genommen. Ziel ist es zu sehen, wie groß der maximale Fehler für die Werte deines Näherungspolynoms auf einem gegebenen Intervall ist.
Ja, dein ξ liegt zwischen x und x0 . Dabei ist aber immer dein ξ von der Wahl von x abhängig. Du musst also zunächst das x so wählen, sodass der ,,x-Term'' maximal wird und dann dein ξ, was nun zwischen x und x0 liegt. Und in diesem Intervall wählst du dir nun dein ξ so, sodass dein ,,ξ-Term'' maximiert wird. Für Grad 2 hättest du also:
$$ R_2(x)=\Bigg|\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\cdot x^3\Bigg|\leq \Bigg|\frac{2}{6\cdot (\xi+1)^3}\cdot x^3\Bigg|\leq \Bigg|\frac{2}{6\cdot (\xi+1)^3}\cdot \Big(-\frac{1}{2}\Big)^3\Bigg|\\\leq \Bigg|\frac{2}{6\cdot (-\frac{1}{2}+1)^3}\cdot \Big(-\frac{1}{2}\Big)^3\Bigg|=\Bigg|\frac{2}{6\cdot (\frac{1}{2})^3}\cdot \Big(-\frac{1}{2}\Big)^3\Bigg|=\frac{1}{3} $$
Und wenn du das jetzt für Grad 5 machen würdest, schau mal auf die Restgliedabschätzungswerte. Was stellst du fest?