Wie schätzt man ein Restglied richtig ab, was ist das Ziel?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie für f(x)=ln(1+x) die Taylorpolynome 2. und 5. Grades mit Entwicklungpunkt x_0=0.
Schätzen Sie die Approimationsfehler für |x|<1/2 ab und vergleichen Sie diese miteinander.

Problem/Ansatz:

$$f'''(x)=\frac { 2 }{ { (1+x) }^{ 3 } } \\ Nun\quad die\quad Fragen:\\ Wie\quad wähle\quad ich\quad \xi ?\quad Wir\quad wissen,\quad dass\quad x\quad im\quad Intervall\quad ]-\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } [\quad liegt.\\ Normalerweise\quad dachte\quad ich\quad immer,\quad dass\quad \xi \quad zwischen\quad { x }_{ 0 }\quad und\quad x\quad liegt,\quad also\quad hier\\ \xi \epsilon ]-\frac { 1 }{ 2 } ,0]\quad oder\quad \xi \epsilon [0,\frac { 1 }{ 2 } [,\quad aber\quad ist\quad dies\quad auch\quad immer\quad korrekt?\\ Das\quad Ziel\quad ist\quad es\quad ja\quad eine\quad Abschätzung\quad durchzuführen,\quad damit\quad das\quad Restglied\quad das\quad supremum\quad annimt\quad (Max\quad wird)?\\ { R }_{ 2 }(x)=\frac { \frac { 2 }{ { (1+\xi ) }^{ 3 } }  }{ 3! } *{ x }^{ 3 }\le \quad \frac { \frac { 2 }{ { (1-\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 3 } }  }{ 3! } *{ (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 3 }=\quad \frac { 1 }{ 3 } \\ \\ { R }_{ 6 }(x)=\frac { \frac { 24 }{ { (1+\xi ) }^{ 6 } }  }{ 6! } { (x) }^{ 6 }\le \quad \frac { \frac { 24 }{ { (1-\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 6 } }  }{ 6! } { (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 6 }=\frac { 1 }{ 240 } \\ \\ Macht\quad dies\quad so\quad Sinn?\\ \\ Mich\quad würde\quad außerdem\quad noch\quad interessieren,\quad wie\quad ich\quad die\quad beiden\quad Werte\quad vergleichen\quad soll?.$$

Answer 1

Wie schätzt man ein Restglied richtig ab, was ist das Ziel?

Wie man es macht, hängt zunächst einmal davon ab, welche Art von Restgliedformel du heranziehst. Aber in der Regel wird die von Lagrange genommen. Ziel ist es zu sehen, wie groß der maximale Fehler für die Werte deines Näherungspolynoms auf einem gegebenen Intervall ist.

Ja, dein ξ liegt zwischen x und x₀ . Dabei ist aber immer dein ξ von der Wahl von x abhängig. Du musst also zunächst das x so wählen, sodass der ,,x-Term'' maximal wird und dann dein ξ, was nun zwischen x und x₀ liegt. Und in diesem Intervall wählst du dir nun dein ξ so, sodass dein ,,ξ-Term'' maximiert wird. Für Grad 2 hättest du also:

$$ R_2(x)=\Bigg|\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\cdot x^3\Bigg|\leq \Bigg|\frac{2}{6\cdot (\xi+1)^3}\cdot x^3\Bigg|\leq \Bigg|\frac{2}{6\cdot (\xi+1)^3}\cdot \Big(-\frac{1}{2}\Big)^3\Bigg|\\\leq \Bigg|\frac{2}{6\cdot (-\frac{1}{2}+1)^3}\cdot \Big(-\frac{1}{2}\Big)^3\Bigg|=\Bigg|\frac{2}{6\cdot (\frac{1}{2})^3}\cdot \Big(-\frac{1}{2}\Big)^3\Bigg|=\frac{1}{3} $$

Und wenn du das jetzt für Grad 5 machen würdest, schau mal auf die Restgliedabschätzungswerte. Was stellst du fest?

Comments

Wie du ja siehst, kommen wir auf die selbe Lösung für R_2.

Die Frage wäre nun warum sollte ich  x als -1/2 wählen? Mit 1/2 geht es doch auch?

Dann hätte ich zwar Qsie im intervall [0,1/2] und dieser wäre kleiner, aber wäre dass nicht egal?

Oder wählt man tatsächlich eher das x nach dem Qsie?

---

Du musst halt schauen, dass du dein xi Abhängigkeit von x so wählst, sodass dein Fehler maximal wird. -1/2 habe ich deshalb für x genommen, da somit der Term für xi am größten wird und für den Term mit x betragsmäßig dasselbe ist.

---

Ok, also schaut man doch erst welche Kombination dem Ziel näher kommt.

$$R_2(x)=\Bigg|\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\cdot x^3\Bigg|\leq \Bigg|\frac{2}{6\cdot (\xi+1)^3}\cdot x^3\Bigg|\leq \Bigg|\frac{2}{6\cdot (\xi+1)^3}\cdot \Big(-\frac{1}{2}\Big)^3\Bigg|\\\leq \Bigg|\frac{2}{6\cdot (-\frac{1}{2}+1)^3}\cdot \Big(-\frac{1}{2}\Big)^3\Bigg|=\Bigg|\frac{2}{6\cdot (\frac{1}{2})^3}\cdot \Big(-\frac{1}{2}\Big)^3\Bigg|=\frac{1}{3}$$

$$\left| { R }_{ 6 }(x) \right| =\left| \frac { \frac { 24 }{ { (1+\xi ) }^{ 6 } }  }{ 6! } { (x) }^{ 6 } \right| \le \left| \frac { \frac { 24 }{ { (1-\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 6 } }  }{ 6! } { (-\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 6 } \right| =\frac { 1 }{ 30 }$$

Nun wäre zu klären, was man dort vergleichen soll.

1/3 und 1/30

Klar ist, dass 1/3 > 1/30, also wird der Fehler mit dem Anstieg des Grades der Ableitung geringer. Oder besser das Taylorpolynom schmiedet sich immer mehr an f an, je höher die Ableitung von f ist. ?

Wie begründet man eigentlich die Wahl von xi=-1/2?

---

Ja genau. Je größer du dein Grad wählst, desto besser wird dein Näherungspolynom. Wie man das xi wählt hängt halt vom Term ab. Ist er im Nenner, musst du ihn klein wählen. Ist er im Zähler, dann so groß wie möglich wählen.