Vektorraum Untervektorraum

Question

Hallo :) wie zeige ich folgendes?

U+W= U vereinigt W <-> U Teilmenge W oder W Teilmenge U

Wäre sehr dankbar für Lösungen/Lösungsvorschläge

Ganz liebe Grüße mathepro94

Comments

Hallo

 überlege Einfach welche Vektoren liegen in U+W, welche in U∪W  und was ist wenn nicht eines von beiden Teilmenge der anderen ist.

denke vielleicht zur Veranschaulichung an den R^3:  U=x-y Ebene, V =z-Achse und andererseits U=x-y Ebene, V=x-Achse.

Gruß lul

---

Hey erstmal danke. Habe vergessen zu sagen dass U und W Unterräume vom Vektorraum V sind. Ich soll mir einfach Vektoren aussuchen die in meinen Untervektorräumen liegen? Wie schreibt man das denn auf?

---

Vom Duplikat:

Titel: Sei V ein K-Vektorraum und seien U,W ≤ V Unterräume von V

Stichworte: untervektorraum

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und seien U,W ≤ V Unterräume von V .

 Zeigen Sie: U + W = U ∪W ⇔ U ⊆ W oder W ⊆ U.

Ich bin schon ziemlich lange am Überlgen, aber irgendwie finde ich keine Ansatz. Ich konnte bisher noch keine Richtung Beweisen. Ich freue mich über jede Antwort.

Answer 1

U+W= U vereinigt W <-> U Teilmenge W oder W Teilmenge U

Sei  U+W= U ∪ W

Angenommen es wäre weder U Teilmenge W

noch  W Teilmenge U   dann gäbe es u∈ U mit u∉W

und es gäbe w∈ w mit w∉U      #

Aber es ist u+w ∈ U+W= U ∪ W    ,

also  u+w  ∈ U  oder    u+w  ∈ W

Dann wäre aber

  w = (u+w) - u   ∈ U  , als Differenz zweier Elemente von U

oder

u = (u+w) - w   ∈ W  , als Differenz zweier Elemente von W

Beides im Widerspruch zu #.

Sei umgekehrt : U Teilmenge W oder W Teilmenge U

Dann ist U ∪ W = W   oder  U ∪ W = U

und entsprechend auch U + W = W   oder  U + W = U .