Komplexe Zahlen, warum ist mein Ergebnis falsch??

Question

Aufgabe: -\( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{2} \) i

Problem/Ansatz: Betrag ist 2, nun soll ich die trigonometrische und die Exponentialform bestimmen.

Wenn ich die trigonmetrische bestimme, dann komme ich erstmal auf \( \frac{-pi}{4} \) und dann muss ich doch \( \frac{pi}{2} \) dazu addieren, weil wir uns ja im 2. Quadranten befinden, oder?

So komme ich auf: 2(cos45°+i sin45°) und: e hoch \( \frac{pi}{4}*i \)

Aber laut Lösung ist dies falsch, denn ich muss 180° dazu addieren, was ich leider nicht verstehe.. Sonst bin ich immer so vorgegangen und jetzt sagt man mir, dass dies nicht stimmt. Wo ist mein Fehler? Bitte mit Erklärung:)

Answer 1

Hallo Alexa,

die allgemeine trigonometrische Form einer komplexen Zahl \(z\) lautet: $$z = |z| \cdot (\cos \arg(z) + i \cdot \arg(z))$$ mit \(\arg(z) = \varphi\). Du schreibst:

Wenn ich die trigonometrische bestimme, dann komme ich erstmal auf \(-\pi/4\) und dann muss ich doch \(\pi/4\) dazu addieren, weil wir uns ja im 2. Quadranten befinden, oder?

Ich weiß nicht, wie Du auf \(-\pi/4\) kommst und addieren musst Du normal auch nichts ... es gilt doch: $$\sin \varphi = \frac{\Im(z)}{|z|} \\ \cos \varphi = \frac{\Re(z)}{|z|}$$ das sieht man am besten in der Gauß'schen Zahlenebene:

Der blaue Vektor entspricht der Zahl \(z\). Der Imaginärteil ist rot und der Realteil grün markiert. Der Vektor, der Imaginär- und Realteil bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit den üblichen trigonometrischen Beziehungen. Der blaue Winkel ist \(\varphi\). Man muss noch bei den Vorzeichen aufpassen. Sinus und Cosinus lassen sich nun berechnen (s.o.): $$\sin \varphi = \frac{\Im(z)}{|z|} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos \varphi = \frac{\Re(z)}{|z|} = \frac{-\sqrt{2}}{2}$$ aus beiden Informationen zusammen(!) folgt nun: $$\varphi = \frac 34 \pi = 135°$$ Nur \(\varphi = 135°\) erfüllt beide Gleichungen. D.h. die Darstellung ist $$z = 2 \cdot \left(\cos \frac{3 \pi}{4}  + i \cdot \sin \frac{3 \pi}{4} \right) \\ z = 2 \cdot e^{\frac{3 \pi}{4}}$$

Nachtrag zur Berechnung des Winkels \(\varphi\):

in der Skizze siehst Du die rote gepunktete Linie. Hier ist \(\sin \varphi = \sqrt{2}/2\). Zwei Winkel erfüllen diese Bedingung: zum einen \(\pi/4\) und \(3\pi/4\). Die grüne gepunktete Linie zeigt an, wo \(\cos \varphi = -\sqrt{2}/2\) ist. Das ist bei \(3\pi/4\) und bei \(-3\pi/4\) der Fall. Nur bei \(3\pi/4\) ist sowohl \(\sin \varphi = \sqrt{2}/2\) als auch \(\cos \varphi = -\sqrt{2}/2\) erfüllt. Der Taschenrechner liefert Dir nur Ergebnisse im Intervall \([-\pi/2; +\pi/2]\). Deshalb ist es immer wichtig sich (am besten graphisch) zu veranschaulichen, wo der Winkel wirklich liegt.

Und in diesem Fall brauchst Du doch gar keinen Taschenrechner! Wofür denn?

Gruß Werner

Comments

Aber wenn ich es doch mit arctan berechne, dann erhalte ich dieses Ergebnis. Und genau das verstehe ich jetzt nicht, es befindet sich doch im 2. Quadranten, also muss doch was dazu addiert werden? Also wenn ich meinen Taschenrechner auf Deg umstelle, dann erhalte ich -45° und dazu dann die 90°

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Und wenn ich es so ausrechne, wie du es getan hast, dann komme ich einfach nur auf Pi, also wenn ich cos und sin addiere.. Oder soll das nicht addiert werden?

Ich verstehe es nicht und wir haben es bisher noch nie so gerechnet. immer nur mit arctan

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Habe es jetzt verstanden. Muss einfach nur pi dazu addieren und 180°... Dann geht das Ergebnis auch auf.

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Also wenn ich meinen Taschenrechner auf Deg umstelle, dann erhalte ich -45° und dazu dann die 90°

Hallo Alexa,

ich habe die Antwort noch mal erweitert. Das Problem ist der Taschenrechner und den brauchst Du hier doch gar nicht! Bei 'nicht glatten' Winkeln benötigst Du die Funktion $$\arctan2(x)$$ siehe artan2. Ich nehme aber an, Dein TR hat das nicht.

Taschenrechner verblöden bloß und sind i.A. gar nicht notwendig!