Lösen Sie die folgende Exponentialgleichung nach x auf: a^{mx-p} = b^{nx-q}

Question

Aufgaben:

6. Lösen Sie die folgende Logarithmusgleichung nach x auf:

$$ a^{mx-p} = b^{nx-q} $$

7. Begründen Sie, warum die folgende Behauptung richtig ist:

Beim Lösen der Gleichung \( 7^{6x+3} = 7^{21-3x} \) entspricht eine Lösung durch Exponentenvergleich einer Lösung durch beidseitiges Logarithmieren.

Lösen Sie anschließend die Gleichung.

Comments

zu Nr. 6: Das ist keine Logarithmusgleichung!

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Vom Duplikat:

Titel: Exponentialgleichungen: Bsp. a^{mx-p} = b^{nx-q}

Stichworte: logarithmus,gleichungen,quadratische-gleichungen,logarithmusfunktion

a) Wie löse ich diese Gleichung nach x:$$a^{mx-p} = b^{nx-q}$$

b) $$7^{6x+3} = 7^{21-3x}$$

Bitte helfen!

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Wenn "21-3x ist auch oben" dann solltest Du die Aufgabenstellung korrigieren.

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Ich weiß nicht wie ich das alles hoch bekomme

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Jetzt hat es ja jemand für Dich korrigiert. So wie es vorher war, hattest Du Ressourcen beansprucht mit einer falschen Aufgabenstellung.

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b) War hier schon etwas ausführlicher gestellt. https://www.mathelounge.de/596395/losen-sie-die-folgende-exponentialgleichung-nach-auf-mx-nx

Answer 1

Logarithmusgesetz anwenden:

\((mx-p)\cdot \log(a)=(nx-q)\cdot \log(b)\)

Ausmultiplizieren / erweitern:

\(mx\cdot \log(a) - p\cdot \log(a)=nx\cdot \log(b) - q \cdot \log(b)\)

\(x\log(b)-p\log(a)\) von beiden Seiten subtrahieren:

\(x(m\log(a)-n\log (b))=p\log (a)-q\log(b)\)

Beide Seiten durch \(m\log(a)-n\log(b)\) dividieren:

\(x=\dfrac{p\log(a)-q\log(b)}{m\log(a)-n\log(b)}=\dfrac{\log(a^{-p})+q\log(b)}{n\log(b)-m(log(a)}\)

Comments

kann ich das denn so als Antwort schreiben oder muss ich da noch selber was rechnen, vielen Dank nochmal für deine Mühe.

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Wenn du den Lösungsweg verstehst, dann reicht das.

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Super, dann bleibt mir nur noch die letzte Aufgabe, was muss ich den da als Antwort schreiben, danke nochmals :)

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Naja du hast die selbe Basis (7). Weswegen du die Gleichung vereinfachen kannst, zu \(7^{6x}\cdot 7^3=7^{-3x}\cdot 7^21\) .. ab da an, solltest du es weiter lösen können.

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Alles klar habs jetzt gelöst, vielen Dank für deine Hilfe.

Answer 2

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Comments

vielen Dank für deine Mühe, allerdings ich möchte zwar nicht irgendwie frech rüber kommen doch diese schrift ist leider nicht zu 100% verständlich für mich. Was ist den zb. das Zeichen im zweiten Absatz komme da nicht auf eine Idee.

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Wenn Du das nicht lesen kannst, dann weiss ich nicht ....

Answer 3

Hallo

 in beiden Fällen hilft Logarithmus der 2 Seiten, und verwenden von log(a^b)=b*log(a)

 welchen log man verwendet ist egal.

bei 2 kannst du auch durch eine der 7 hoch dividieren. und hast dann 1=7 hoch Differenz

Gruß lul

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Wie setze ich das ein?

Answer 4

a^mx-p = b^nx-q

^{\( \frac{a^{m·x}}{a^p} \) =\( \frac{b^{n·x}}{b^q} \)}

^{\( b^{q} \) =\( \frac{b^{n·x}·a^{p}}{a^{m·x}} \)}

^{q·ln(b)=ln(\( \frac{b^{n·x}·a^{p}}{a^{m·x}} \) ) auf beiden Seiten durch ln(b) ergibt q.}

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Und wie komme ich auf x?

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Hallo

wie setze ich "das" ein? was meinst du denn mit "das" den log schreibst du auf beiden Seiten vor den Ausdruck !

du willst ja wohl x? warum wendest du nicht den log mal an? und holst die Hochzahlen davor (in Klammern) dann hast du ne einfache Gleichung für x in der nur p,q, log(a) , log(b) noch als Parameter vorkommen.

 entsprechend bei 2. da kommt not noch log(7) vor.

irgendwas muss du schon selbst tun, sonst lernst du es ja nicht.

lul

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Ursprünglich hattest du nach q gefragt - oder?

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@Roland

Tipp:

Verwende \dfrac statt \frac

dann erscheint das besser lesbar:

\( b^{q} \) =\( \frac{b^{n·x}·a^{p}}{a^{m·x}} \)

\( b^{q} \) =\( \dfrac{b^{n·x}·a^{p}}{a^{m·x}} \)

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Danke für den Tipp.

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Auflösung nach x:

amx-p = bnx-q

\( \frac{a^{m·x}}{a^p} \) =\( \frac{b^{n·x}}{b^q} \)

\( \dfrac{b^{q}}{a^p} \) =\( \dfrac{b^{n·x}}{a^{n·x}} \)

\( \dfrac{b^{q}}{a^p} \) =\( (\frac{b^n}{a^m})^{x} \)

Jetzt auf beiden Seiten den log (oder ln).

Potenzgesetz anwenden und nach x auflösen.

Answer 5

Hallo vxnilla,

b) kannst Du gut mit Exponentenvergleich lösen.

VG Knober_27