Für welche s, t liegt vektor im von v, w erzeugten unterraum von R^3?

Question

Aufgabe: Wir betrachten den R-Vektorraum R^3 und setzen
v = (1, 2, 3), w = (4, 5, 6).

(a) Fur welche s ∈ R ist der Vektor (5, 7, s) eine Linearkombination von v und w?
(b) Fur welche s, t ∈ R liegt (0, 1/2t, s)
im von {v, w} erzeugten Unterraum von R^3?
(c) Sei as := (s, 1, 0). Fur welche s ∈ R ist {v, w, as} linear unabhängig?

Problem/Ansatz:

a) habe ich schon: s = 9. c) kriege ich denke ich auch hin. Nur bei b) komm ich nicht weiter, ich habe noch nicht einmal einen Ansatz.

Answer 1

Der von {v, w} erzeugte Unterraum von ℝ³ ist

        {x ∈ ℝ³ | ∃ λ₁, λ₂ ∈ ℝ: x = λ₁v + λ₂w}.

Wenn (0, 1/2t, s) in diesem UVR liegen soll, dann muss folglich

        ∃ λ₁, λ₂ ∈ ℝ: (0, 1/2t, s) = λ₁v + λ₂w

sein. Unter welchen Bedingungen solche λ₁, λ₂ existieren findest du heraus indem du die Gleichung

        (0, 1/2t, s) = λ₁v + λ₂

w nach s und t löst.