Kettenregel - Mehrfachverkettung: f(x) = √[x + √(x + √x)]

Question

Hallo ztusammen,


ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht auf die richtige Lösung,
um ehrlich zu sein fehlt mir aber auch der richtige Lösungsansatz!

Die Kettenregel an sich kann ich schon, jedoch habe ich Probleme bei Mehrfach- Verkettungen....

Ich weiß gar nicht wie ich die Aufgabe hier darstellen soll,

ausgeschrieben lautet Sie

Wurzel aus x + Wurzel aus x + Wurzel aus x

f(x) = √[x + √(x + √x)]


Wobei aber jede Wurzel die andere Wurzel mit umfasst!
Also die erste Wurzel hat unter der Wurzel stehen:
x + Wurzel x + Wurzel x

usw.

Ich hoffe man vertseht wie die Aufgabe aussieht!!

!

 

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aus Duplikat:

Es soll √(x+√(x+√x)) durch die Kettenregel abgeleitet werden. Irgendwie erhalte ich immer verschiedene Variablen in den Substitutionen und weiss nicht wie ableiten. Ich erhalte:

u=x+x^1/2          u'=1+1/2x^-1/2

v=(x+u)^1/2 und bereits ergibt sich das Problem mit den Variablen x und u

y = v^1/2          y'=1/2u^-1/2

Comments

sieht die Aufgabe so aus

f(x) = √[x + √(x + √x)]

?

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Jo, so sieht sie aus!!!

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Kannst du das Verfahren hier vielleicht nachvollziehen?
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+√%5Bx+%2B+√%28x+%2B+√x%29%5D+

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Die Berechnung ist ausgesprochen aufwändig!!!


Gib doch diese Formel

sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))

einmal in folgenden Ableitungsrechner ein, der Dir auch die einzelnen Zwischenschritte zeigt:
www.matheguru.com/rechner/ableiten

Besten Gruß

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Naja, so aufwändig ist das auch nicht. Man muss einfach zwei Mal die Kettenregel anwenden.

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@Nick:
Yep, aber zweimal die Kettenregel ist einmal zuviel - vor allem, wenn man sich dann die Lösung anschaut :-)

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Wieso ist zweimal einmal zuviel? Einmal benutzt man sie, um sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x))) abzuleiten (äußere mal innere Ableitung), und dann nochmal um die innere Ableitung zu bestimmen, also die Ableitung von sqrt(x+sqrt(x)).

Wieso ist das einmal zu viel?

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Danke für eure Antworten!! :)

Wie wäre denn der grundsätzliche Ansatz mit der Kettenregel?

Von innen nach außen, von außen nach innen?? Wie geht man am besten vor??

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Von außen nach innen. Etwa so:

\(\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\). Also:

\(\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\cdot \left(x+\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)'\)

Um dann den hinteren Faktor (innere Ableitung) zu bestimmen, benutzt man dann nochmal die Kettenregel.

Answer 1

Hi,

ich glaube ich würde mich hier gar nicht mit Benennung der Variablen aufhalten. Ich würde das wohl so angehen, dass ich immer die innere Ableitung angebe:

$$f(x) = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}$$

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}\cdot (x+\sqrt{x+\sqrt x})' $$

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}\cdot (1+\frac{1}{2\cdot\sqrt{x+\sqrt x}}) \cdot (x+\sqrt x)'$$

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}\cdot (1+\frac{1}{2\cdot\sqrt{x+\sqrt x}}) \cdot (1+\frac{1}{2\sqrt x})$$

Und schon fertig. Kannste ja noch auf einen Nenner schreiben, wenn Du lustig bist. Ich wäre da aber glaub ich zu faul und würde es so lassen. Ist dann auch ersichtlich was gemacht wurde ;).

Grüße

Answer 2

hi

guck mal, ob dir der artikel bei wikipedia hilft https://de.wikipedia.org/wiki/Kettenregel#Verallgemeinerung_auf_mehrfache_Verkettungen

da gibt es auch ein beispiel zur mehrfachverkettung.

hier kann man es aber leider nicht 1:1 übertragen, man muss geeignet substituieren, guckst du:

f(x) = (x+(x+x^{1/2})^{1/2})^{1/2}

f(x) = u(h(x))
f'(x) = u'(h(x)) * h'(x)
h(x) = x+(x+x^{1/2})^{1/2}
h'(x) = (x+(x+x^{1/2})^{1/2})'
u'(h(x)) = (1/2)*(x+(x+x^{1/2})^{1/2})^{-1/2}

h(x) = x + w(x)
h'(x) = 1 + w'(x)
w(x) = (x+x^{1/2})^{1/2}
w'(x) = (1/2)*(x+x^{1/2})^{-1/2}*(1+(1/2)*x^{-1/2})

f'(x) = u'(h(x))*h'(x) = u'(h(x))*(1 + w'(x))

= (1/2)*(x+(x+x^{1/2})^{1/2})^{-1/2} * (1 + (1/2)*(x+x^{1/2})^{-1/2}*(1+(1/2)*x^{-1/2}))

:D

Comments

beim zweiten hinsehen fällt mir auf, dass man sich den umweg über u, u', h, h' auch sparen kann:

f(x) = (x + (x + x^{1/2})^{1/2})^{1/2}
f(x) = (x + w(x))^{1/2}
w(x) = (x + x^{1/2})^{1/2}
w'(x) = (1/2)*(x + x^{1/2})^{-1/2}*(1 + (1/2)*x^{-1/2})

f'(x) = (1/2)*(x + w(x))^{-1/2} * (1 + w'(x))
= (1/2)*(x + (x + x^{1/2})^{1/2})^{-1/2} * (1 + (1/2)*(x + x^{1/2})^{-1/2}*(1 + (1/2)*x^{-1/2}))

das ist übersichtlicher und kürzer.

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Stimmt das Ergebnis? Ist das richtig? Man kann aber gar nichts erkennen! :(

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ja das stimmt. was heißt nichts erkennen?!

meinst du wegen der schreibweise?

x^-1/2 bedeutet z.b.  \( \frac{1}{\sqrt{x}} \)

schreib dir das doch auf einem blatt papier auf.

vielleicht schreib ich das gleich noch in latex um, wenn ich lustig bin :P

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stunden spääter ... gäähn...

na hoffentlich kannst du es jetzt lesen :D

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Super!!!
Das hat mir sehr geholfen!

Aber du hast jetzt den Schritt mit f '(X) zwei mal drin oder? Sehe da zumindest keinen Unterschied....

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bingo!

ich hatte das in einem anderen editor eingegeben und beim copy & paste muss das irgendwie passiert sein oder so...

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Warum schreibst du das Ergebnis so umständlich als Vierfachbruch?

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damit sich das ergebnis einfacher mit wolfram-alpha kontrollieren lässt.

der link wurde weiter oben schon einmal gepostet: https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+%E2%88%9A%5Bx+%2B+%E2%88%9A%28x+%2B+%E2%88%9Ax%29%5D+

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Nochmal eine doofe Frage..

Ich habe das ganze jetzt nachgerechnet und auch verstanden!
(auch wenns lange gedauert hat :/ )

Aber ich komme bis zur vorletzten Zeile!
Dann hast du in der letzten Zeile in der Mitte ja was zusammengefasst....

Wenn ich das ganze Zusammenfasse komme ich aber auf ein anderes Ergebnis? :-/

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Ah ich habe den Fehler schon gefunden...

Ich habe beim zweiten Bruch die Klammer übersehen!
Aber wieso die Klammer da hin kommt ist mir unklar...

Wenn ich habe  f(x) = w(u(v(x)))

Dann ist meine Ableitungsformel doch

w '(u(v(x))) *  u ' (v(x)) * v ' (x)

Oder?

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das zusammenfassen ist eigentlich bloß das ausrechnen der großen klammer in der vorletzten zeile.

beachte, dass die eine 1 ganz links in der großen klammer allein steht. an der stelle habe ich mich jedenfalls ein paar mal verhauen, vielleicht ist dir dasselbe passiert.

das in der großen klammer in der letzten zeile ist also die ausgerechnete klammer aus der vorletzten zeile.

kuck:

wobei ausrechnen vielleicht etwas übertrieben formuliert ist. :D man setzt einfach den term in der kleinen klammer auf den bruchstrich.

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Jo genau :D
Das es das gleiche ist nur eben auf dem Bruchstrich habe ich gesehen,

aber komme nicht auf den Rechenweg :D

Ich glaube ich hab heut zu viel Mathe gemacht^^

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"Wenn ich habe  f(x) = w(u(v(x)))
Dann ist meine Ableitungsformel doch
w '(u(v(x))) *  u ' (v(x)) * v ' (x)
Oder?"

ja, das kann man hier aber nicht 1:1 übertragen.
der grund ist, das in der klammer eine summe steht.
die klammer muss dahin wegen dem zweiten faktor
von f'(x), also wegen (1 + w'(x)).

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Jo... danke!!!


Jetzt hab ichs!

Vielen Dank, warst mir eine große Hilfe! ;-)