1. und 2. Ableitung folgender Funktionen. √(1 + √x) und cos(x^2)

Question

Berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen folgender Funktionen:

a) \( \sqrt { 1 + \sqrt { x } } \)

b) \( \cos(x^2) \)

Comments

Du brauchst hier die Kettenregel. Falls das neu ist, betrachte erst

Eine einfachere Funktion:

https://www.mathelounge.de/3782/ableiten-der-funktion-f-x-5x-3-18-6

und vielleicht noch

https://www.mathelounge.de/4591/ableitung-von-6x-e-2-9x²

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ich kenne zwar die Kettenregel, aber ich weiss nicht wie ich sie hier anwenden soll :S

Answer 1

f(x) = (1 + x^0.5)^0.5

f '(x) = 0.5 * (1 + x^0.5)^-0.5 * 0.5 * x^-0.5
f '(x) = 0.25 * (x + x^1.5)^-0.5

 

f ''(x) = 0.25 * (-0.5) * (x + x^1.5)^-1.5 * (1 + 1.5 * x^0.5)
f ''(x) = -0.125 * (x + x^1.5)^-1.5 * (1 + 1.5 * x^0.5)

 

f(x) = cos(x^2)

f '(x) = -sin(x^2) * 2x
f '(x) = -2x * sin(x^2)

f ''(x) = -2 * sin(x^2) + (-2x) * cos(x^2) * 2x 
f ''(x) = -2 * sin(x^2) -4 * x^2 * cos(x^2) 

Answer 2

Ich benutze ^0.5 statt Wurzel. Das macht die Formeln handlicher.

(1 + x^0.5)^0.5 und

Innere Funktion u(x) = 1 + x^0.5        u'(x) = 0.5 x^{-0.5}

äussere Funktion f(u) = u^0.5              f ' (u) = 0.5 u^{-0.5}

Kettenregel

f ' (x) = 0.5 u^{-0.5} * 0.5 x^{-0.5}         u wieder einsetzen und Faktoren sortieren.

 = 0.25 ( 1 + x^0.5)^{-0.5} * x^{-0.5}

= 0.25 (( 1 + x^0.5) * x)^{-0.5}

= 0.25 ( x + x^1.5)^{-0.5}

nun zur 2. Ableitung:

Wahl u(x) = x + x^1.5                u'(x) = 1 + 1.5 x^0.5

f ' (u) = o.25 * u^{-0.5}                       f ' ' (u) = -0.125 * u^{-1.5}

Kettenregel

f ' ' (x) = -0.125 * u^{-1.5}* (1+1.5 x^0.5)

f ' ' (x) = -0.125 * (x + x^1.5)^{-1.5} * (1+1.5 x^0.5)

Bitte sorgfältig nachrechnen und am Schluss auf einem Bruchstrich darstellen, ev. wieder mit Wurzelzeichen.

Um diese Zeit ohne jegliche Gewähr!

Hab die zweite Ableitung noch bei Wolframalpha rechnen lassen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%29+*+%28x%2Bx%5E1.5%29%5E%28-0.5%29

Dort kannst du step by step anschauen, was die machen.

f(x) = cos(x^2)

Innere Funktion u = x^2   u' = 2x

äussere Funktion f(u) = cos u         f '(u) = - sin(u)

f ' (x) = - sin (u) * 2x = - sin(x^2) * 2x = -2x * sin(x^2)

Für die 2. Ableitung die Produktregel benutzen

f ' ' (x) = (-2x * sin(x^2) ) ' = (-2x) '  * sin(x^2) + (-2x) * (sin(x^2) ) '

= -2 sin(x^2) + (-2x) *(2x)*cos(x^2)

= -2 sin(x^2) – 4x^2*cos(x^2)

Auch hier gilt: Noch nachrechnen!

Anmerkung:

Im zweitletzten Schritt benutzte ich:

(-2x) ' = -2

(sin(x^2))' = 2x* cos(x^2)      gemäss Kettenregel

analog

(cos(x^2))' = -2x* sin(x^2)