Wie zeige ich, dass die Fläche eines Dreiecks im Vektorraum durch folgende Gleichung gegeben ist?

Question

ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:

1. Seien \( \vec{v}_1 \), \( \vec{v}_2 \), \( \vec{v}_3 \) \(\in \mathbb{R}^3\)  paarweise verschiedene Ortsvektoren. Zeigen Sie, dass die Fläche des Dreiecks, das durch die Endpunkte der Ortsvektoren aufgespannt wird, allgemein gegeben ist durch $$A = \frac 12 \sqrt{ (|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|)^2 - (\vec{a} \bullet \vec{b})^2 }$$wobei \( \vec{a}= \vec{v}_2 -  \vec{v}_1 \) und \( \vec{b} = \vec{v}_3 - \vec{v}_1\).

Hinweis: Stellen Sie zunächst \(A^2\) geeignet dar. Dann hilft Ihnen die Formel \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) weiter, die unmittelbar aus dem Satz von Pythagoras folgt.

2. Bestimmen Sie mit der Formel aus Teil 1 die Fläche des Dreiecks, das durch die Endpunkte
der folgenden Ortsvektoren aufgespannt wird: $$ \vec{v}_1  = \begin{pmatrix}-4 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}, \quad \vec{v}_2 = \begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ 7\end{pmatrix}, \quad \vec{v}_3 = \begin{pmatrix}1\\ 9\\ 7\end{pmatrix}$$

Zu 1: Wenn ich erst \(A^2\) bilde, bekomme ich ja schonmal die Wurzel weg und aus 1/2 vorne wird 1/4.

Leider weiß ich nicht, wie ich dann weitermachen soll.

Ich weiß auch gar nicht, was dieser "fette" Multiplikationspunkt in dem Ausdruck (\( \vec{a} \) • \( \vec{b} \))² bedeuten soll. Also warum ist der mit Absicht größer als ein normaler Multiplikationspunkt und was bedeutet dies?

Ich wäre für Lösungen oder Lösungsansätze sehr dankbar!

MfG

Version 2019 (mit Klammern):

1. Seien \( \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}}, \overrightarrow{v_{3}} \in \mathbb{R}^{3} \) paarweise verschiedene Ortsvektoren \( ^{2} . \) Zeigen Sie, dass die Fläche des Dreiecks, das durch die Endpunkte der Ortsvektoren aufgespannt wird, allgemein gegeben ist durch
$$ A=\frac{1}{2} \sqrt{(|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|)^{2}-(\vec{a} \bullet \vec{b})^{2}} $$
wobei \( \vec{a}=d f \overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{v_{1}} \) und \( \vec{b}=d f \overrightarrow{v_{3}}-\overrightarrow{v_{1}} \)
Hinweis: Stellen Sie zunächst \( A^{2} \) geeignet dar. Dann hilft Ihnen die Formel \( \sin (\alpha)^{2}+\cos (\alpha)^{2}=1 \) weiter, die unmittelbar aus dem Satz von Pythagoras folgt. Auch das Lemma 9.1.7 im Skript ist bei der weiteren Herleitung nützlich.
Hat jemand eine Idee wie man das löst?

Comments

oben soll eigentlich stehen "1. Seien \( \vec{v1} \), \( \vec{v2} \), \( \vec{v3} \) ∈ ℝ³", ich weiß auch nicht warum der das nicht umgewandelt hat.

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen, dass die Fläche des Dreiecks durch folgende Formel gegeben ist

Stichworte: vektorraum,dreieck,beweis

Text erkannt:

1. Seien \( \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}}, \overrightarrow{v_{3}} \in \mathbb{R}^{3} \) paarweise verschiedene Ortsvektoren \( ^{2} . \) Zeigen Sie, dass die Fläche des Dreiecks, das durch die Endpunkte der Ortsvektoren aufgespannt wird, allgemein gegeben ist durch
$$ A=\frac{1}{2} \sqrt{(|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|)^{2}-(\vec{a} \bullet \vec{b})^{2}} $$
wobei \( \vec{a}=d f \overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{v_{1}} \) und \( \vec{b}=d f \overrightarrow{v_{3}}-\overrightarrow{v_{1}} \)
Hinweis: Stellen Sie zunächst \( A^{2} \) geeignet dar. Dann hilft Ihnen die Formel \( \sin (\alpha)^{2}+\cos (\alpha)^{2}=1 \) weiter, die unmittelbar aus dem Satz von Pythagoras folgt. Auch das Lemma 9.1.7 im Skript ist bei der weiteren Herleitung nützlich.

Hat jemand eine Idee wie man das löst?

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Was ist die Bedeutung von df?

Was ist die Bedeutung von •?

Wie lautet Lemma 9.1.7?

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1. df heißt definiert. Kann man sich theoretisch wegdenken, also a = v2 - v1

2. skalarprodukt

3. Für Leute, die auf diesen Post stoßen: Bei den aktuellen Folien existiert 9.1.7 nicht mehr. Es ist nun 9.1.6 (Aufgabe ist veraltet bzw. nicht aktualisiert)

Ich habe die Aufgabe bereits gelöst und brauche keine Hilfe mehr. Falls irgendjemand eine Erklärung braucht, einfach kommentieren.

Answer 1

Der Ausdruck \(\vec{a} \bullet \vec{b}\) soll das Skalarprodukt sein. Dafür gibt es unterschiedliche Schreibweisen: $$ \vec{a}\vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b}= \vec{a}^T \vec{b} = \vec{a}\bullet \vec{b} = \left< \vec{a},\vec{b}\right>$$

zu 1): das lässt sich leicht auflösen, wenn man die Definitinen von Betrag und Skalarprodukt verwendet. Es ist $$|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}^2} = a; \quad \text{bzw.} \space |\vec{b}| = b \\ \vec{a} \bullet \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha = ab \cos \alpha$$ wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist. Das \(A^2\) braucht es nicht - setze einfach die Größen ein: $$\begin{aligned} A &= \frac 12 \sqrt{ (|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|)^2 - (\vec{a} \bullet \vec{b})^2 } \\ &= \frac 12 \sqrt{(a \cdot b)^2 - (a\cdot b\cdot \cos \alpha)^2} \\ &= \frac 12 \sqrt{(a \cdot b)^2 - (a\cdot b)^2\cdot (\cos \alpha)^2} \\ &= \frac 12 \sqrt{a^2\cdot b^2 \cdot (1-\cos^2\alpha)} \\ &= \frac 12 \sqrt{a^2\cdot b^2 \cdot\sin^2\alpha} \\ &= \frac 12 \cdot a\cdot b \cdot\sin \alpha \\ &= \frac 12 \cdot a \cdot h \end{aligned}$$ \(b\cdot \sin \alpha\) ist die Höhe im Dreieck. Und das ist die bekannte Formel für die Dreiecksfläche.

die 2) solltest Du leicht selber hin bekommen. Das Ergebnis ist \(A=42\). Hilfe: das Skalarprodukt von \(\vec{a} \bullet \vec{b}\) ist $$\vec{a} \bullet \vec{b} = \begin{pmatrix}9& 1 & 4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5\\ 9\\ 4\end{pmatrix} = 9 \cdot 5 + 1 \cdot 9 + 4 \cdot 4$$ Das ganze in Geoknecht3D.

Comments

Hi, ich hätte zu deiner Antwort nochmal zwei Fragen ^^. Wie genau kommst du dort auf das "(1-..." im dritten Schritt. Als zweites noch wieso stehen dort bei Schritt 4 und 5 das selbe?

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Wie genau kommst du dort auf das \((1-\cos^2 \alpha)\) im dritten Schritt.

Ich habe aus dem Term \((a\cdot b)^2 - (a\cdot b)^2 \cdot \cos^2\alpha\) das \((a\cdot b)^2\) ausgeklammert.

...  wieso stehen dort bei Schritt 4 und 5 das selbe?

Copy&Paste-Fehler - das habe ich korrigiert.

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vielen Dank für die Antwort!

2. habe ich auch dank deiner Hilfe selber hinbekommen.

MfG