Hallo moonlight,
Wie mache ich das?
So wie's in der Überschrift steht - durch Substitution. 'Substitution' steht für 'Ersetzen' - hier ersetzt man \(\lg x\) durch etwas anderes; z.B. durch \(z\). Dann steht da $$\begin{aligned} (\lg x)^2 + \frac 74 \cdot \lg x - \frac 12 &= 0 \\ z^2 + \frac 74 z - \frac 12 &= 0\end{aligned}$$ und dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen (pq-Formel) $$z_{1,2} = - \frac 78 \pm \sqrt{\frac{49}{64} + \frac{32}{64} } = \frac 18\left( -7 \pm \sqrt{81} \right)$$ Die negative Lösung entfällt, da ein Logarithms nicht negativ sein kann. Es bleibt$$z=\frac 14 \quad \implies \lg x = \frac 14 \implies x = 10^{1/4} \approx 1.7783$$
ich ging oben davon aus, dass Deine Gleichung $$\colorbox{#ffff00}{(lg (x))²} + \frac 74 \cdot \lg x - \frac 12 = 0$$ heißt und NICHT $$\colorbox{#ffff00}{lg (x²)} + \frac 74 \cdot \lg x - \frac 12 = 0$$ im zweiten Fall wäre \(\lg x = \frac2{15}\)
Gruß Werner
