Sinnhaftigkeit des Definitionsbereichs bei einer Gleichung

Question

Aufgabe:

Hallo ich habe mal eine Frage weil mir erschließt sich der Sinn der Aufgabe nicht. Folgendes ein Nachhilfeschüler von mir hatte folgende Aufgabe:

x+6*\( \sqrt{x+1} \) =15

Nun sollte die Lösung, die Probe und auch die Lösungsmenge angegeben werden was für mich soweit auch nachvollziehbar ist. Allerdings sollte auch zusätzlich der Definitionsbreich angegeben werden. Was bei mir dafür sorgte, dass ich denn Sinn nicht verstehe . Bei Funktionen klar da macht es Sinn diesen anzugeben aber bei einer Gleichung oder wie in dem Fall einer Wurzelgleichung kann ich persönlich keinen Sinn finden.

Würde mich freuen wenn mir da jemand was zu sagen könnte.

Liebe Grüße

noXa

Answer 1

Weil du hier eine Wurzel hast. Deshalb darf der Wert nicht kleiner null werden, da du sonst in ℂ abdriftest. Deshalb gilt: 
\(x+1\geq 0 \Rightarrow x\geq -1 \)

Also ist der Definitionsbereich \(\left \{ x \in ℝ \mid x\geq -1\right \}\)

Comments

Danke dir erstmal für deine Antwort. Wie der Definitionsbereich ist war mir auch durch ausbewusst. Aber deren Sinn mag ich dennoch bestreiten, weil ich gebe ja eh die Lösungsmenge an. Warum muss es daher noch zusätzlich der Definitionsbereich sein.

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Möglicherweise aufgrund von Fallunterscheidungen. Denn die Lösungmenge wäre ja nur L={3}

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Ja genau und da diese nur 3 ist macht das ja für mich keinen Sinn

Answer 2

Hallo. Zum einen ist für \(x<-1\) ist der Wurzelterm auf der linken Seite und damit auch die ganze Gleichung nicht definiert. Zum anderen ist das Quadrieren einer Gleichung im allgemeinen keine Äquivalenzumformung, das heißt, die quadrierte Gleichung kann Scheinlösungen aufweisen, die nicht zur Lösungsmenge gehören. Daher ist eine Probe erforderlich. Diese Probe kann man sich sparen, wenn die Scheinlösungen nicht im Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung enthalten sind.

Comments

Auch dir ein erstmal ein Dankeschön für deine Antwort.

Beim lösen der Aufgabe stellte sich raus das man für x₁= 63 und für x₂=3 erhielt.

Dadurch ergab sich selbst redend das x₁ keine Löungs ist und somit x₂=3 die Lösung für diese Aufgabe ist Sprich ich habe die Lösungsmenge={3}. Was wir auch so aufgeschrieben haben. Da die Lösungsmenge nur aus einem Element besteht ist halt für mich der Definitionsbreich hier völlig unnötig. Da ich ja eh für x₁ und x₂ die Probe machen muss. Eventuell hab ich aber auch einen Teil deiner Erklärung nicht richtig verstanden.

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Wenn du statt \(x_1=63\) zum Beispiel \(x_1=-99\) herausbekommen hättest, dann hättest du dir die Probe sparen können, da diese Scheinlösung gar nicht im Definitionsbereich liegt. Mehr wollte ich nicht sagen. Im übrigen hast du natürlich recht! :-)

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Ja das stimmt bei -99 kann man sich die Probe sparen da man ja R nicht verlassen soll! Danke dann war ich also nicht verkehrt das es in dem Fall eigentlich keinen wirklichen Sinn hat einen Definitionsbreich aufzuschreiben. Geht dem Lehrer dann wahrscheinlich eher darum, dass die Schüler sich mit der Schreibform des Defintionsbereichs auseinander setzen sollen.

Aber ich hab erstmal wirklich überlegt ob es einen Sinn hat und war mir nicht ganz sicher. Aber du hast es ja bestätigt.

Danke dir

Answer 3

Eine Gleichung ist eine Aussageform.

Sie ist im Allgemeinen keine Aussage, weil in ihr Symbole vorkommen, die unbestimmt sind.

Erst dadurch, dass man die unbestimmten Symbole mit konkreten Werten belegt, entsteht eine Aussage (also etwas, deren Gültigkeit man bejahen oder verneinen kann).

Beispiel.  Die Gleichung

        x + 3 = 5

ist eine Aussageform. Was "3", "+", "=" und "5" bedeuten, ist einheitlich geregelt. Aber es gibt keine Regelung, wofür "x" steht. Deshalb ist es sinnlos, zu fragen ob die Gleichung gültig oder ungültig ist. Also ist es keine Aussage.

Ich belege das "x"  jetzt mit dem Wert "7". Dann entsteht

        7 + 3 = 5.

Das ist jetzt eine Aussage. Die Aussage ist ungültig, weil 7+3 nicht den gleichen Wert hat wie 5. Das konnte entschieden werden, weil sowohl der Wert auf der linken, als auch der auf der rechten Seite des GLeiochheitszeichens berechnet werden konnte.

x + 6·√(x+1) = 15

Setzt man für x die Zahl -1338 ein, dann bekommt man

        -1338 + 6·√(-1338+1) = 15

was nach allgemein annerkannten Rechenregeln gleichwertig zu

        -1338 + 6·√(-1337) = 15

ist. Das Problem ist nun (zumindest solange man keine komplexen Zahlen kennt), dass diese Gleichung nicht auf ihre Gültigkeit untersucht werden kann, weil der Teilterm √(-1337) keinen Wert hat. Also ist es keine Aussage und deshalb ist -1338 nicht im Definitionsbereich.