Trigonometrische Gleichung: 3sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=3

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die folgenden trigonometrischen Gleichungen über der Grundmenge G = [0; 2 π]. Geben Sie alle Lösungen im Grad- und Bogenmaß an.

3 sin²x + cos ²x= 3

Trigonometrischer Pythagoras sin²(x) + cos ²(x) = 1

3 sin²(x) + 1 - sin²(x) = 3

2 sin²(x) = 2

sin ²(x) = 1

sin (x) = 1

sin ^-1= 1

sin= 90 Grad

π/180 * 270 = 4,7123 Rad.

Problem/Ansatz: Sind die Ergebnisse richtig?

Danke euch schon einmal für eure Hilfe.

Answer 1

$$3\sin^{2}x + \cos ^{2}x = 3  \\ 3\sin^{2}x + 3\cos ^{2}x - 2\cos ^{2}x = 3  \\ 3\left(\sin^{2}x + \cos ^{2}x\right) - 2\cos ^{2}x = 3  \\ 3 - 2\cos ^{2}x = 3  \\ - 2\cos ^{2}x = 0  \\ \cos ^{2}x = 0  \\ \cos x = 0  \\ x=\dfrac{\pi}{2}\quad\text{oder}\quad x=\dfrac{3\pi}{2} \quad\text{bzw.}\\ x=90^\circ\quad\text{oder}\quad x=270^\circ.$$

Answer 2

es gibt zwei Lösungen, da du eine quadratische Wurzel gezogen hast. Außerdem sollte man i. d. R. auf die Periodizität beachten.

Answer 3

3·SIN(x)^2 + COS(x)^2 = 3

3·SIN(x)^2 + 1 - SIN(x)^2 = 3

2·SIN(x)^2 = 2

SIN(x)^2 = 1

SIN(x) = ±1

x = 1/2·pi ∨ x = 3/2·pi

x = 90° ∨ x = 270°

Comments

Danke für deine Hilfe :)

Aber was ist mit dem Bogenmaß und Gradmaß, muss das nicht auch noch ausgerechnet werden?

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Mein Ergebnis ist in der Grundmenge G angegeben. Du solltest es schaffen das Gradmaß selber auszurechnen. Du weißt sicher das das eine proportionale Zuordnung mit dem Faktor 180°/pi ist. Daher sollte dir das nicht so schwer fallen oder?

Gradmaß = Bogenmaß * 180°/pi