Trigonometrische Gleichung lösen: cos^2(x)=sin(x)-1

Question

Aufgabe:

cos^2(x)=sin(x)-1

Problem/Ansatz:

ich habe versucht die Gleichung umzuformen cos^2(x)=sin(x)-(cos^2(x)+sin^2(x)) ,aber damit komm ich auch nicht wirklich weiter. Kann jmd. mir vil paar Tipps geben? danke!

Answer 1

Nutze \(\cos^2(x)=1-\sin^2(x)\) (trig. Pythagoras), wodurch du \(1-\sin^2(x)-\sin(x)+1=0\) erhältst.

Danach ließe sich substituieren.

Answer 2

allgemein gilt:

sin^2(x) +cos^2(x)=1

cos^2(x)=1 -sin^2(x)

-->eingesetzt:

1-sin^2(x)= sin(x)-1

1-sin^2(x)- sin(x)+1 =0

-sin^2(x)- sin(x)+2 =0 | *(-1)

sin^2(x)+ sin(x)-2 =0

Substituiere z= sin(x)

z^2+z -2=0 -->pq-Formel

z_1.2= -1/2±√ (1/4 +2)

usw.

Answer 3

Diese spezielle Aufgabe lässt sich sogar allein durch Betrachtung der Wertebereiche lösen.

Die linke Seite nimmt Werte von 0 bis 1 an, die rechte Seite hingegen Werte von -2 bis 0.

Gleichheit ist also nur möglich, wenn linke und rechte Seite jeweils 0 sind.

Das ist nur für x=π/2 + 2kπ möglich.