Lineare Unabängigkeit - Beweis

Question

ich muss folgende Aufgabe bearbeiten, weiß aber nicht so wirklich, wie ich das machen soll: 

Aufgabe: Sei K ein Körper und sei f: V -> W eine K-lineare Abbildung eines K-Vektorraums V in eine K-Vektorraum W. Für Vektoren v1,v2,..,vn aus V sei w1 = f(v1),..,f(vn). Zeigen Sie, wenn w1,..,wn linear unabhängig in W sind, dann sind auch v1,..,vn unabhängig in V. 

Vielen Dank vorab!

Answer 1

Zeigen Sie, wenn w1,..,wn linear unabhängig in W sind, dann sind auch v1,..,vn unabhängig in V. 

Um zu zeigen v1,..,vn unabhängig in V.   betrachtest du

a1*v1 + a2*v2 + ,.. +an*vn   = 0   und musst zeigen:

Einzige Lösung ist a1=a2=.=an = 0 .

Aus     a1*v1 + a2*v2 + ,.. +an*vn   = 0     folgt

          f(a1*v1 + a2*v2 + ... +an*vn)   = f(0)

wegen der Linearität

 a1*f(v1) + a2*f(v2) + … + an*f(vn)   = 0

also  a1*w1 + a2*w2 + ,.. +an*wn   = 0

und weil die w's lin- unabh. sind folgt

Einzige Lösung ist a1=a2=.=an = 0 .