lineare Abbildung: f(v) = w bzgl. bestimmter Werte von v und w unklar.

Question

Aufgabe:

In Abhängigkeit von t∈R sei definiert
                  v₁ := (-1,2,1), v₂ := (-1,1,-1), v₃ := (-5,7,-t²) ∈ℝ³

und         

                  w₁ := (1,1,0,0), w₂ := (-2,1,0,1), w₃ := (-4,5,0,3t) ∈ℝ⁴

Bestimmen SIe jeweils alle Werte für t∈ℝ, für die es
(a)  keine
(b)  genau eine
(c)  unendlich viele

lineare Abbildunge(n)

                        ƒ:ℝ³→ℝ⁴

gibt mit ƒ(v_i) =w_i für i= 1,2,3.

Problem/Ansatz:

Mein derzeitiges Problem ist, zu verstehen, was die Abbildung genau macht, da es sonst schwer wird, die Wrte zu bestimmen.

Es gilt ja

   ƒ((-1,2,1))=(1,1,0,0)

   ƒ((-1,1,-1))=(-2,1,0,1)

   ƒ((-5,7,-t²))=(-4,5,0,3t).

Was nun die lineare Abbildung exakt macht, ist für mich absolut nicht ersichtlich.

Ich möchte hier kurz hinweisen, dass ich keine Werte für t haben möchte, sondern nur die Abbildung selber.

Vielen Dank im Voraus (und frohe Weihnachten)!

Answer 1

Was nun die lineare Abbildung exakt macht,

Sie bildet zum Beispiel (1,0,3) auf (5,-1,0,-2) ab, weil

        v₁ - 2v₂  = (1,0,3)

also

        f((1,0,3))

      = f(v₁ - 2v₂ )

      = f(v₁) - 2f(v₂)        wegen Linearität

      = (1,1,0,0) - 2·(-2,1,0,1)

      = (5, -1, 0, -2)

Etwas schwieriger ist die Frage zu beantworten, auf welchen Vektor 2v₁ + 3v₂ abgebildet werden soll.

Comments

erstmal möchte ich mich für die späte Rückmeldung entschuldigen.

Dank deinem Tipp konnte ich zumindest schon einmal (b) herausfinden.

Bei den beiden anderen komme ich aber nicht weiter. Irgendwelche Tipps, wie ich da an die richtige Antwort herankomme?