Lineare Algebra I. Zeigen mithilfe des Rangs von Matrizen, dass es genau d = min(m, n) + 1 Äquivalenzklassen gibt?

Question

Wie definieren auf Matm×n(K) eine Relation: Schreibe A ∼ B
wenn es ein S ∈ GLm(K) und T ∈ GLn(K) gibt so, dass B = SAT.
(i) Verifizieren Sie, dass es sich dabei um eine Aquivalenzrelation handelt. ¨
(ii) Zeigen Sie mithilfe des Rangs von Matrizen, dass es genau
d = min(m, n) + 1
Äquivalenzklassen gibt, und wählen Sie aus jeder Klasse einen Repräsentanten aus.

Answer 1

(i)  Zeige: a) Für alle A gilt A ~ A;  denn A = E * A * E^(-1)

     b)    A ~ B ==>   B ~ A    denn

     B = SAT  ==>   A = S^(-1) * B * T^(-1)

c)     A ~ B und B ~ C  ==>    A ~ C   denn:

     B=SAT  und C = UBV

==>  C = U(SAT)V = (US) * A * (TV)

und mit STUV sind auch  US und TV aus GLn(K).

a)b)c) zeigt:   Äquivalenzrel.