Vielen lieben Dank für deine ausführliche Antwort!^^
Ich habe mich mathematisch etwas unklug ausgedrückt, ich probiere es noch einmal für die Reflexivität und Symmetrie..
Reflexivität:
Zu zeigen:
Für alle Paare (a,b) aus M2 gilt (a,b) ~ (a,b).
Es ist (a,b) ~ (a,b) ⇔ a+b = b+a, und diese Gleichung gilt für beliebige a,b ∈ ℕ.
Symmetrie:
Zu zeigen:
(a,b) ~ (c,d) ⇔ (c,d) ~ (a,b) für beliebige Paare (a,b) und (c,d) aus M2
Es gilt:
(a,b) ~ (c,d) ⇔ a+d = b+c ⇔ c+b = d+a ⇔ (c,d) ~ (a,b)
nun zu den Äquivalenzklassen, ich probiere es mal, glaube aber nicht, dass es darauf vermutlich volle Punktzahl geben wird.
Die Äquivalenzklasse [(x,y)] besteht aus alles Paaren (a,b), die in Relation zu (x,y) stehen.
Da,
(x,y) ~ (a,b) ⇔ x+b = y+a ⇔ x-y = a-b
,ist die von (x,y) erzeugte Äquivalenzklasse gleich der Menge aller Paare (a,b), so dass die Differenz x-y und a-b den gleichen Wert haben, also
[(x,y)] = { (a,b) | a,b ∈ ℕ und a-b = x-y}
Zu jeder ganzen Zahl z gibt es eine Äquivalenzklasse, in der alle Darstellungen von z enthalten sind. Die Darstellungen sind als Paare geschrieben. Umgekehrt gibt es zu jeder Äquivalenzklasse eine entsprechende ganze Zahl.
D.h es gibt eine Abbildung zwischen der Menge der Äquivalenzklassen und der Menge der ganzen Zahlen so, dass
[(a,b)] ↦ z ⇔ z = a-b.
Ich bin mir nicht sicher, ob das richtig und überhaupt ausreichend ist... freue mich auf dein feedback.^^