Bestimme die Äquivalenzklassen φ := {((a, b),(c, d)) ∈ M^2 | a + d = c + b}.

Question

Gegeben ist die folgende binäre Relation in M = ℕ² = ℕ × ℕ :

φ := {((a, b),(c, d)) ∈ M² | a + d = c + b}.
Man untersuche, ob φ ⊆ M² eine Äquivalenzrelation ist und bestimme
gegebenenfalls die Äquivalenzklassen.

Ansatz:

Reflexivität:

(a,b) ~ (a,b) ⇒ a+b = b+a  ☺

Symmetrie:

(a,b) ~ (c,d) ⇒ (c,d) ~ (a,b) =  a+d = b+c ⇒ c+b = d+a ☺

Transitivität:

Gelte
(1) (a, b) ∼ (c, d), also a + d = b + c,
(2) (c, d) ∼ (e, f ), also c + f = d + e.

Wir müssen (a, b) ∼ (e, f) zeigen, also a + f = b + e.

Aus (1)+(2) folgt a + d + c + f =(a+f )+(d+c) = b + c + d + e =(b+e)+(c+d).

Mit subtrahieren von (c+d) folgt a + f = b + e. ☺

Ich würde mich tierisch darüber freuen, falls mir jemand das mit den Äquivalenzklassen zeigen könnte... und ich werde das Gefühl nicht los, wegen dem M² irgendwas nicht richtig gemacht zu haben? Das verwirrt mich ein wenig.

Answer 1

(a,b) ~ (a,b) ⇒ a+b = b+a

Du hast hier geschlussefolgert

        Wenn (a,b) ~ (a,b) ist, dann ist a+b = b+a.

Für die Reflexivität benötigst du aber die andere Richtung:

        Wenn a+b = b+a ist, dann ist (a,b) ~ (a,b).

Aus dieser Aussage kann man zusammen mit dem Kommutativgesetzt der Addition folgern, dass

        (a,b) ~ (a,b)

für alle (a,b) ∈ ℕ² gilt.

(a,b) ~ (c,d) ⇒ (c,d) ~ (a,b) =  a+d = b+c ⇒ c+b = d+a

Ich weiß nicht, was du meinst. Kannst du das in Worte fassen?

Transitivität:

Sehr gut!

das mit den Äquivalenzklassen

In ℤ gilt

        a + d = c + b

genau dann wenn

        a - b = c - d

ist. Man kann zu jedem z ∈ ℤ umkehrbar eindeutig eine Äquivalenzklasse von φ angeben. Zum Beispiel ist die Äquivalenzklasse von -3 die Menge

        {(1, 4), (2, 5), (3, 6), ...}

weil -3 = 1-4 = 2-5 = 3-6 = ... ist. Problem ist, das ganze ohne Rückgriff auf ℤ zu formulieren, weil ich vermute, dass du die Menge überhaupt noch nicht kennen solltest.

Comments

Vielen lieben Dank für deine ausführliche Antwort!^^

Ich habe mich mathematisch etwas unklug ausgedrückt, ich probiere es noch einmal für die Reflexivität und Symmetrie..

Reflexivität:

Zu zeigen:

Für alle Paare (a,b) aus M² gilt (a,b) ~ (a,b).

Es ist (a,b) ~ (a,b) ⇔ a+b = b+a, und diese Gleichung gilt für beliebige a,b ∈ ℕ.

Symmetrie:

Zu zeigen:

(a,b) ~ (c,d) ⇔ (c,d) ~ (a,b) für beliebige Paare (a,b) und (c,d) aus M²

Es gilt:

(a,b) ~ (c,d) ⇔ a+d = b+c ⇔ c+b = d+a ⇔ (c,d) ~ (a,b)

nun zu den Äquivalenzklassen, ich probiere es mal, glaube aber nicht, dass es darauf vermutlich volle Punktzahl geben wird.

Die Äquivalenzklasse [(x,y)] besteht aus alles Paaren (a,b), die in Relation zu (x,y) stehen.

Da,

(x,y) ~ (a,b) ⇔ x+b = y+a ⇔ x-y = a-b

,ist die von (x,y) erzeugte Äquivalenzklasse gleich der Menge aller Paare (a,b), so dass die Differenz x-y und a-b den gleichen Wert haben, also

[(x,y)] = { (a,b) | a,b ∈ ℕ und a-b = x-y}

Zu jeder ganzen Zahl z gibt es eine Äquivalenzklasse, in der alle Darstellungen von z enthalten sind. Die Darstellungen sind als Paare geschrieben. Umgekehrt gibt es zu jeder Äquivalenzklasse eine entsprechende ganze Zahl.

D.h es gibt eine Abbildung zwischen der Menge der Äquivalenzklassen und der Menge der ganzen Zahlen so, dass

[(a,b)] ↦ z ⇔ z = a-b.

Ich bin mir nicht sicher, ob das richtig und überhaupt ausreichend ist... freue mich auf dein feedback.^^

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(a,b) ~ (c,d) ⇔ (c,d) ~ (a,b)

Das hast du durch

        (a,b) ~ (c,d) ⇔ a+d = b+c ⇔ c+b = d+a ⇔ (c,d) ~ (a,b)

gezeigt. Für die Symmetrie wäre aber nur

      (a,b) ~ (c,d) ⇒ (c,d) ~ (a,b)

notwendig gewesen. Das heißt du hättest dich für den Beweis der Symmetrie auf

      (a,b) ~ (c,d) ⇒ a+d = b+c ⇒ c+b = d+a ⇒ (c,d) ~ (a,b)

beschränken können.

⇔ x-y = a-b

Das Problem dabei ist, dass in ℕ der Ausdruck x-y eventuell überhaupt keinen Sinn ergibt. Zum Beispiel ist \(3 - 5 \notin \mathbb{N}\).

Zum Glück kann man aber die Gleichung

      \(x+b = y+a\)

noch auf eine andere Art umformen, als zu x-y = a-b. Nämlich zu

        \(b - a = y - x\).

Bekanntermaßen ist zu beliebigen natürlichen Zahlen \(a\) und \(b\) entweder

• \(a - b\in\mathbb{N}\), oder
• \(b - a\in\mathbb{N}\), oder
• \(a = b\).

Damit ist

        \([(a,b)] = \begin{cases} \{(x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}|x-y = a-b\}&\text{falls } a > b \\ \{(x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}|y-x = b-a\}&\text{falls } b > a \\ \{(x,x)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\}&\text{falls } a = b \end{cases}\).