Wie löse ich folgende Gleichung?: e^(-2x) * (-2x-1) = 0.8

Question

Aufgabe:

e^(-2x) * (-2x-1) = 0.8

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Gleichung nach x auf?
Wäre dankbar für eine Schritt für Schritt Lösung.

Comments

Algebraisch nicht möglich. Du hast x einmal als Multiplikator und einmal als Exponent. Verwende Iterationsverfahren, wie z. B. das Newtonverfahren.

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Besten Dank.

Answer 1

Es geht auch (falls erlaubt) mit einem GTR:

Man zeichnet die Graphen von f₁(x)=-(2x+1) und f₂(x)=0,8·e^2x

und findet ihren Schnittpunkt ungefähr bei x≈-0,616554

Answer 2

e^(-2x) * (-2x-1) = 8/10 |Substitution: z=-2x findet man unter
http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html
§8 mit a=-1;b=e;c=8/10
z=LambertW(n,c *b^a*log(b))/log(b)-a | Rücksubst: x=-z/2
x=-LambertW(n,8/10/e)/2-1/2 |kürzen
x_n=-LambertW(n,4/5/e)/2-1/2 mit n=-2...1

Ergebnistabelle

n  | x_n=-LambertW(n,4/5/e)/2-0.5

-2 | 1.3227330871361858849214342243 + 5.33312234893159306090668591 i
-1 | 0.9152627527916746184787682614 + 2.05460084400890320956114087 i
 0 | -0.6165541760143925615233334727
 1 | 0.9152627527916746184787682614 - 2.05460084400890320956114087 i
Probe: in Ausgangsgleichung ergibt für alle 4 x (1 reelle und 3 komplexe Lösungen)
den gewünschten Funktionswert 0.8

Die meisten Lehrer ignorieren jedoch diese exakte Lösung https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion

 und wollen nur Näherungslösungen mit den gerade im Schulstoff behandelten Verfahren wie:

a) https://de.wikipedia.org/wiki/Bisektion

b) https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren