Lokale Minima (zwei Funktionsarten) f(x) = bx^3 + cx + d, h(x) = me^{rrx} /(x − mas)

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Funktionen f : R → R und h : R \ {mas} → R mit
f(x) = bx^3 + cx + d, h(x) = me^{rrx} /(x − mas)
(Im Exponenten steht ein x),
wobei b ≥ 0, c, d ∈ R sowie m > 0, r ≠ 0, a, s ∈ R.
Für welche Werte b ≥ 0, c, d ∈ R bzw. m > 0, r ≠ 0, a, s ∈ R besitzen diese Funktionen
a) kein lokales Minimum?
b) genau ein lokales Minimum?
c) mehrere lokale Minima?
In welchen Fällen sind die lokalen Minima auch globale Minima?

Problem/Ansatz:

wie löst man die Aufgaben a-b-c  ?!

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Funktionen minimal und maximal Probleme h(x) = m*e∧(r*r*x) / x − m*a*s

Stichworte: analysis,lineare-algebra

Aufgabe:

Gegeben seien die Funktionen h : R \ {mas} → R mit

h(x) = m*e∧(r*r*x) / (x − m*a*s)

wobei m > 0, r 6= 0, a, s ∈ R.
m > 0, r 6= 0, a, s ∈ R besitzen diese Funktionen
a) kein lokales Minimum?
b) genau ein lokales Minimum?
c) mehrere lokale Minima?
In welchen Fällen sind die lokalen Minima auch globale Minima?

ich sitze mit der Aufgabe gerade ziemlich auf dem Schlauch. Falls jemand gute Ansätze hätte würde mir das sehr helfen.
Vielen Dank!!

Answer 1

Die Definition von h ist anmehreren Stellen unverständlich.Daher nur zu f:

Kubische Parabeln haben entweder nur einen Sattelpunkt oder genau einen Wendepunkt sowie  genau ein Minimum und genau ein Maximum. Extrema gibt es nur für f'(x)=0, also x²=-c/(3b).Dies hat für c>0 keine reelle Lösung. Lokale Extrema sind auf ℝ nie global.

Answer 2

f ' (x) = 3bx^2 + c ist gleich Null, wenn

                3bx^2 = -c

für b≠0 also     x^2 = - c / (3b).

Die Gleichung ist für b≥0 (Das war jka vorausgesetzt.) also nur lösbar,

wenn  entweder  b=0 und c=0 , dann ist f eine konstante Funktion,

hat also überall Minima, damit ist das für den Fall a) nix.

Für b>0 gibt es immer zwei Lösungen, wenn c < 0 ist.

Eine davon gehört also zu einem Minimum.

Genau eine Lösung (x=0) gibt es für b>0 und  c = 0 .

Da brauchst du dann noch die 2. Ableitung die ist allgemein

f ' ' (x) = 6bx und für x=0 ist das auch 0, hilft also nix.

Allerdings hat f ' (x) an der Stelle 0 keinen Vorzeichenwechsel, also

ist da auch kein Minimum von f.  Ergebnis:

f hat KEIN Minimum für    b>0 und  c = 0

und für den Fall   b>0 und  c > 0 ; denn da ist die

Ableitung nie 0.

In der Art kannst du auch die anderen Fälle analysieren.

Comments

Dann sage ich für:

b) es gibt genau ein lokales Minimum wenn b>0 und c<0, da x hat zwei Lösungen und eine davon unbedingt ein lokales Minumum oder  ?!

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Ja, hört sich gut an.

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Also jetzt für:

c) es gibt kein mehrere Minima, da f(x) kubisch ist, oder  ?!

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Ja, vielleicht noch etwas genauer etwa so:

Gäbe es mehrere Minima müsste dazwischen ein Maximum

liegen . Da die Funktion für b≠0 kubisch ist, kann sie aber nur

zwei Extremstellen haben.

Für b=0 c≠0 ist es eine  linear Funktion, der Graph ist eine

Gerade mit einer Steigung ≠ 0, also gibt es auch nicht mehrere

Extrema, aber für b=0 und c=0 gibt es unendlich viele Minima.

(konstante Funktion).

Answer 3

h(x) = me^rrx /(x − mas)
(Im Exponenten steht ein x),

Was ist mit den beiden r nebeneinander? Auch im Exponenten? Das wäre dann (r^2 * x) im Exponenten.

Bitte auch noch diese Zeichen

wobei b ≥ 0, c, d ∈ R sowie m > 0, r != 0, a, s ∈ R.
Fur welche Werte b ≥ 0, c, d ∈ R bzw. m > 0, r != 0, a, s ∈ R

alle "vorlesen".

Happy New Year!

Comments

Hallo Lu,

Also in der Frage steht beiden r nebeneinander aber ja ich glaube sie meinen (r^2*x), vielleicht sie wollten uns etwas kreativ für Weinachten zeigen wie "merry x-mas" oder so ! hehe

Und mit der "  != " meinte ich ungleich.

Happy new year

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Habe die Ungleichheitszeichen nun oben gesetzt.

Exponent (r^2 x) zusammen mit m>0 sorgt dafür, dass me^rrx streng monoton steigt.

Antworten hast du ja inzwischen.

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Könntest du mir bitte mehr erklären , wann gibt es kein lokales Minimus und ein lokalen Minimum und mehrere lokale Minima  ?!

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Meinst du jetzt allgemein oder bei der x-mas-Aufgabe?

x-mas: Mache dir ein Bild mit ein paar Zahlen:

~plot~ 0.2*e^(0.5x)/(x-2);1/(x-2);0.2*e^(0.5x);x=2 ~plot~

Fall mas = 2 > 0, r^2 = 0.5, m=0.2

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Ich meine bei der x-mas Aufgabe

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Obiger Fall:

Rechts von x=2, bzw. rechts von mas:

lim_{x->unendlich} 0,2*e^(0,5x)/(x-2) = + unendlich

lim_{x->2+} 0,2*e^(0,5x)/(x-2) = + unendlich       

Zwischen x=2 und x=unendlich sind die Funktionswerte endlich und die Funktion stetig. D.h. es gibt mindestens ein lokales Minimum.

Links von x=2, bzw. links von mas:
lim_{x-> - unendlich} 0,2*e^(0,5x)/(x-2) = 0
lim_{x->2-} 0,2*e^(0,5x)/(x-2) = - unendlich     
Zwischen x= -unendlich und x= 0 sind die Funktionswerte endlich und die Funktion stetig. D.h. es gibt vielleicht kein lokales Minimum.

Nun kannst du mit der Monotonie von Zähler und Nenner separat argumentieren, wie viele lokale Minima es maximal geben kann.

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Super ! Nun verstanden  :-D

Vielen Dank für die Erklärung

mmmm Wie mach ich das mit der Minitonie  ?!