Taylorpolynom von f(x) = (1 + x)^a im Entwicklungspunkt 0

Question

Aufgabe:

Sei
f : ] − 1, 1[ → R, f(x) = (1 + x)^a
mit a ∈ R.
Finden Sie die Taylorpolynome Tn von f im Entwicklungspunkt 0. Falls a ∈ N und n ≥ a
ist, was können Sie über Tn sagen?
Finden Sie für a = 2.5 ein n ∈ N, sodass |f(0.1) − Tn(0.1)| ≤ 0.001 ist.

Problem/Ansatz:

ich werde mich sehr freuen, wenn Jemand mir erklären kann, wie man diese Aufgabe  löst ?!

Comments

-- gelöscht, falsch gelesen.

Answer 1

Erst mal ein paar Ableitungen

f ' (x) =  a*(x+1)^(a-1)

f ' '  (x) =  a*(a-1)*(x+1)^(a-2)

etc. also die a-te  Ableitung

f^(a) (x) =  a*(a-1)**(a-(a-1))*(x+1)^0 = a!

bei der vorigen wäre es noch gewesen

f^(a-1) (x) =  a*(a-1)*...*3*2*(x+1).

Dann sind die Taylorpolynome:

T1(x)=f(0)+f ' (0) * x  = 1 + a*x

T2(x)=f(0)+f ' (0) * x  + f ' ' (0) / 2! * x^2 = 1 + a*x + a*(a-1)/2 * x^2

Für z.B. a=4 sähe das mit den ersten beiden so aus:

~plot~ (x+1)^4;1+4x;1+4x+6x^2 ~plot~

Für n=a wäre es

T_a(x)=f(0)+f ' (0) * x  + f ' ' (0) / 2! * x^2 +....+ f^(a)(0) / a! * x^a

= 1 + a*x + a*(a-1)/2 * x^2 + . + a! / a! * x^a

Und alle weiteren (also für n>a) sehen genauso aus; denn die höheren

Ableitungen sind ja alle gleich 0.

Die Faktoren vor dem x^k in dem Taylorpolynom sind ja immer

a*(a-1)*(a-2)**(a-k+1) / k! und das sind ja gerade

die Binomialkoeffizienten . Also ist T_n(x) für n≥a und natürliches a genau gleich

f(x) nur,. dass bei T_n(x) die Klammern aufgelöst sind. (Binomischer

Satz).

Comments

Vielen vielen Dank  !

Was meinen wir mit beiden sternen nebeneinander  (**) hier:

 f^(a-1) (x) =  a*(a-1)**3*2*(x+1)

Frohes neues Jahr  !

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Das sollten eigentlich Pünktchen sein, also

Produkt von a bis hinab nach 2.

Korrigiere ich .

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Ach ja !

Dankeschön