A = (λij ), also λij = λji fur alle Indices 1 ≤ i, j ≤ n.
(i) Verifizieren Sie, dass diese Teilmenge ein Untervektorraum ist.
Jeden falls ist die 0-Matrix darin und wenn für zwei Matrizen A und B
die Voraussetzung erfüllt ist (also etwa für λij und μij , dann auch für ihre Summe; denn die
Matrixelemente der Summe sind ja immer λij + μij das ist gleich μij + λij ;
denn wenn bei zwei Summen die Summanden paarweise gleich sind, dann sind
auch die Summen gleich.
Ebenso ist es bei der Multiplikation einer solchen Matrix mit einer reellen Zahl x :
Wenn die Matrix A aus U ist, dann auch x*A ∈ U.
(ii) Bestimmen Sie dimK(U), indem Sie eine Basis A1, A2, . . . für U angeben.
Betrachte alle Matrizen, die auf oder unterhalb der Hauptdiagonalen an einer
Stelle ai,j eine 1 haben und an der "gegenüberliegenden" , also aj,i = 1 und sonst
überall 0en. Von diesen Matrizen gibt es
(n^2 -n) / 2 [ die unterhalb der Hauptdiag. .. ]
und n, die auf der Hauptdiag. .
Also insgesamt (n^2-n) / 2 + n
= ( n^2 + n ) / 2
Stück. Die bilden eine Basis, also ist die Dimension
(n^2 +n) / 2
