Aufgabe:
Es seien zwei Unterräume von ℝ3 gegeben
U = {(2a + b, b, 2a + b) | a,b ∈ ℝ} und
W = <(1, -2, 0), (-7, 1, -4)>
Geben Sie die Basis von U, W und U ∩ W an und berechnen Sie dim(U+W)
Problem/Ansatz:
Ich habe Probleme herauszufinden wie ich eine Basis bilde, wenn ich statt einer Bedingung im Unterraum wie zB:
U' = {(2a + b, b, 2a + b) | x1+x2+x3 = 3}
nur beliebig wählbare Variablen habe (siehe U oben).
Mein Ansatz zu U ist, dass ich a und b ausklammere und herausbekomme:
a(2,0,2)+b(1,1,1)
Die Vektoren zu a und b können aber nicht alle Vektoren im Raum aufspannen zB: (0,0,1), deswegen kann das ja nicht richtig sein.
Mein Ansatz zu W ist, dass der Span per Definition jeden Vektor im Raum aufspannen kann und deshalb eine Basis bilden, wenn seine Vektoren lin. unabh. sind. Also Basis zu W: (1, -2, 0),(-7, 1, -4)
Zu dem Rest habe ich keinen Ansatz.