Basis zu Untervektorraum bilden

Question

Aufgabe:

Es seien zwei Unterräume von ℝ³ gegeben

U = {(2a + b, b, 2a + b) | a,b ∈ ℝ} und

W = <(1, -2, 0), (-7, 1, -4)>

Geben Sie die Basis von U, W und U ∩ W an und berechnen Sie dim(U+W)

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme herauszufinden wie ich eine Basis bilde, wenn ich statt einer Bedingung im Unterraum wie zB:

U' = {(2a + b, b, 2a + b) | x1+x2+x3 = 3}

nur beliebig wählbare Variablen habe (siehe U oben).

Mein Ansatz zu U ist, dass ich a und b ausklammere und herausbekomme:

a(2,0,2)+b(1,1,1)

Die Vektoren zu a und b können aber nicht alle Vektoren im Raum aufspannen zB: (0,0,1), deswegen kann das ja nicht richtig sein.

Mein Ansatz zu W ist, dass der Span per Definition jeden Vektor im Raum aufspannen kann und deshalb eine Basis bilden, wenn seine Vektoren lin. unabh. sind. Also Basis zu W: (1, -2, 0),(-7, 1, -4)

Zu dem Rest habe ich keinen Ansatz.

Answer 1

Die Vektoren zu a und b können aber nicht alle Vektoren im Raum aufspannen zB: (0,0,1), deswegen kann das ja nicht richtig sein.

Danach ist auch nicht gefragt. Du sollst eine Basis von U angeben und nicht vom R^3. Das wäre hier z.b (2,0,2) und (1,1,1) für U oder auch (1,0,1) und (1,1,1) für U.

Und zu W kannst du schon (1, -2, 0),(-7, 1, -4) verwenden, da diese linear unabhängig sind.

Zu U∩W: Du musst nun alle Vektoren finden, die sich sowohl über die Basisvektoren von Un bzw. von W darstellen lassen (Linearkombinationen!) Ansatz ist also:

a*(1,0,1)+b*(1,1,1)=c*(1,-2,0)+d*(-7,1,-4) lösen.

Dann brauchst du nur noch in die Formel einsetzen: dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U∩W).

Comments

Ich habe jetzt deine Vorgehensweise angewendet und habe das raus:

a + b - c + 7d = 0

b + 2c - d = 0

a + b - 4d = 0

setze d = 1 (weil 4 Variablen, nur 3 Gleichungen) und löse LGS:

a = 25, b = -21, c = 11, d = 1

Setze die Lösungen in U' = a(1,0,1)^T + b(1,1,1)^T = (4,-21,4)^T

U' ist die Basis von U ∩ W.

Dementsprechend ist die dim(U+W) = 2 + 2 - 1 = 3

Ist das so richtig? Und wenn ja, so würde ich durch diese Vorgehensweise ja immer nur eine 1 Dimensionale Lösung für die Basis herausbekommen, oder? Was wäre denn wenn die Basis des Durchschnitts 2 dimensional ist, ich aber durch das Gleichsetzen der beiden Vektoren wie oben ja nur eine Lösung durch das GLS bekomme? Ich müsste dann doch irgendwie noch einen weiteren Basisvektor finden, aber wie?

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setze d = 1 (weil 4 Variablen, nur 3 Gleichungen) und löse LGS:

Das kann man so machen, aber so bekommst du nur (wenn überhaupt) mit d=1 eine spezielle Lösung raus. Du möchtest aber das für beliebige d∈ℝ lösen:

a*(1,0,1)+b*(1,1,1)=c*(1,-2,0)+d*(-7,1,-4)

 <=> a*(1,0,1)+b*(1,1,1)+c*(-1,2,0)+d*(7,-1,4)=(0,0,0)

Oder als erweiterte Koeffizientenmatrix:

\(\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 & -1 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & -4                                                                                                                        \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)

Umgeformt:

\(\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -3                                                                                                                        \end{array} \right | \left. \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)

Also ist

$$ c-3d=0 \Leftrightarrow c=3d\\ b+5d=0 \Leftrightarrow b=-5d\\a-d=0\Leftrightarrow a=d $$

Also hat man hier die Schnittmenge beschrieben durch:

$$ x=a\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix}=d\cdot \begin{pmatrix}-4\\-5\\-4 \end{pmatrix}\\=c\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0 \end{pmatrix}+d\cdot \begin{pmatrix}-7\\1\\-4 \end{pmatrix}\\[20pt] U\cap W=\mathbb{R} \cdot \begin{pmatrix}4\\5\\4 \end{pmatrix}=\text{span} \Bigg(\begin{pmatrix}4\\5\\4 \end{pmatrix} \Bigg) $$

Also handelt es sich um eine Gerade, mit dim(U∩W)=1.