Matrix A als Produkt von Elementarmatrizen schreiben

Question

Hallo,

die Matrix \( A = \begin{pmatrix} -1&3\\1&-2 \end{pmatrix} \in \mathbb{Q^{2\times2}}\) soll als Produkt von Elementarmatrizen aufgeschrieben werden.

Ich habe mir schon diverse ähnliche Aufgaben im Web, aber auch hier im Forum angesehen, aber irgendwie will das Vorgehen beim Lösen solcher Aufgaben nicht in meinen Kopf rein.

Wäre nett wenn mir das hier jemand nochmal beschreiben könnte. Vielleicht macht es ja bei meiner konkreten Aufgabe "Klick"

Answer 1

Du überführst A durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix. Die Inversen der entsprechenden Elementarmatrizen ergeben dann das gesuchte Produkt.

Elementarmatrizen

https://www.geogebra.org/m/qbtj5mhd

Beispiel:

\(\small  \left(\begin{array}{rr}1&\frac{1}{2}\\0&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-\frac{2}{5}\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}-\frac{1}{2}&0\\0&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}1&0\\\frac{1}{2}&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}-2&1\\1&-3\\\end{array}\right) = E \)

\(\small A = \left(\left(\begin{array}{rr}1&\frac{1}{2}\\0&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-\frac{2}{5}\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rr}-\frac{1}{2}&0\\0&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rr}1&0\\\frac{1}{2}&1\\\end{array}\right) \right)^{-1} \)

\(\small A =    \left(\begin{array}{rr}1&0\\-\frac{1}{2}&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}-2&0\\0&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-\frac{5}{2}\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}1&-\frac{1}{2}\\0&1\\\end{array}\right)  \)

Comments

Danke für die Antwort. Bevor du deine Antwort bearbeitet hast, habe ich die Rechnung schonmal selbst gemacht und die sieht bei mir wie folgt aus:

\( A = \left( \underbrace{\begin{pmatrix} 1&0\\1&1 \end{pmatrix}}_{Z2 = 1\cdot Z1 + Z2} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1&-3\\0&1 \end{pmatrix}}_{Z1 = (-3) \cdot Z2 + Z1} \cdot  \underbrace{\begin{pmatrix} -1&0\\0&1 \end{pmatrix}}_{Z1 = (-1)\cdot Z1}\right)^{-1} \\[30pt]= \begin{pmatrix} 1&0\\-1&1 \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 1&3\\0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1&0\\0&1 \end{pmatrix} \)

Das Ergebnis stimmt ja zwar (das letze Produkt ergibt A), aber bei dir scheint es in der ersten Zeile der Rechnung so, dass das Produkt der Elementarmatrizen mit A die Einheitsmatrix ergibt, doch bei mir ist dies nicht der Fall...

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Hm,

in der obigen Rechnung ich bin irgendwie von der Matrix \(\small A \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}-2&1\\1&-3\\\end{array}\right)\) ausgegangen...die Antwort passt also nicht auf die Frage ;-)

Mit Deinem Term für die Inversen geht es sich nicht aus ===> Beachte (A B)^-1 = B^-1 A^-1. Damit erhältst Du eine falsche Reihenfolge...

\(\scriptsize \left( \underbrace{\begin{pmatrix} 1&0\\1&1 \end{pmatrix}}_{Z2 = 1\cdot Z1 + Z2} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1&-3\\0&1 \end{pmatrix}}_{Z1 = (-3) \cdot Z2 + Z1} \cdot  \underbrace{\begin{pmatrix} -1&0\\0&1 \end{pmatrix}}_{Z1 = (-1)\cdot Z1}\right)^{-1}   ≠\scriptsize \begin{pmatrix} 1&0\\-1&1 \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 1&3\\0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1&0\\0&1 \end{pmatrix}\)

Für die jetzt hoffentlich richtige Matrix, hast Du vermutlich folg. Weg im Auge :

\(\small  \left(\begin{array}{rr}1&-3\\0&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}1&0\\1&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}-1&3\\1&-2\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr}-1&0\\0&1\\\end{array}\right)  \)

dann darauf die Inversen von links mult.

\(\small    \left(\begin{array}{rr}1&0\\-1&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}1&3\\0&1\\\end{array}\right)  \)

\(\small  A= \left(\begin{array}{rr}1&0\\-1&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}1&3\\0&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}-1&0\\0&1\\\end{array}\right)   \)

das passt dann!

Nachdem rechts eine Elementarmatrix stehen bleibt braucht man da nicht unbedingt die Einheitsmatrix..

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\( \small  \left(\begin{array}{rr}1&-3\\0&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}1&0\\1&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}-1&3\\1&-2\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr}-1&0\\0&1\\\end{array}\right) \)

wieso nimmst du hier als erstes \( \underbrace{\begin{pmatrix} 1&-3\\0&1 \end{pmatrix}}_{Z1 = (-3) \cdot Z2 + Z1} \) ?

Entspricht das nicht folgender Zeilenumformung:

\( \begin{pmatrix} -1&3\\1&-2 \end{pmatrix} \rightsquigarrow \begin{pmatrix} -4&9\\1&-2 \end{pmatrix} \)

kommt nicht zuerst \( \underbrace{\begin{pmatrix} 1&0\\1&1 \end{pmatrix}}_{Z2 = 1\cdot Z1 + Z2} \), also

\( \begin{pmatrix} -1&3\\1&-2 \end{pmatrix} \rightsquigarrow \begin{pmatrix} -1&3\\0&1\end{pmatrix} \)

Dreht sich die Reihenfolge der Zeilenumformungen im Produkt um? d.h. links die letzte, rechts die erste?

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Die erste Umformung ist die, die links von der Matrix A steht,

===> A = { a_ij } ===> a₂₁=0

\(\small  \left(\begin{array}{rr}1&0\\1&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}-1&3\\1&-2\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-1&3\\0&1\\\end{array}\right) \)

im zweiten Schritt kommt dann

\(\small  \left(\begin{array}{rr}1&-3\\0&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}1&0\\1&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}-1&3\\1&-2\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr}-1&0\\0&1\\\end{array}\right) \)

und Du musst mit der Inversen zu

\(\small  \left(\begin{array}{rr}1&-3\\0&1\\\end{array}\right) \)

beginnen die rechte Seite aufzubauen

\(\small  \large{ \left(\begin{array}{rr}1&3\\0&1\\\end{array}\right) } \cdot \small  \left(\begin{array}{rr}1&-3\\0&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}1&0\\1&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}-1&3\\1&-2\\\end{array}\right)=\large{\left(\begin{array}{rr}1&3\\0&1\\\end{array}\right)} \cdot  \small \left(\begin{array}{rr}-1&0\\0&1\\\end{array}\right) \)