Aufgabe zum Schubfachprinzip (Kombinatorik)

Question

Aufgabe:

Zu Ostern möchte Ferdinand Eier bemalen. Dazu hat er fünf verschiedene Farben: rot, grün, blau, gelb und orange. Damit die Eier auch schön bunt werden, bemalt Ferdinand jedes Ei mit genau drei Farben.

Zeige, dass es unter sieben bemalten Eiern immer drei gibt, die in mindestens zwei Farben übereinstimen.

Problem/Ansatz:

Mir ist bewusst, dass diese Aufgabe mit Hilfe des Schubfachprinzips gelöst wird. Jedoch kann ich dieses Prinzip nicht auf die Aufgabe anwenden. Ich hoffe mir kann jemand dabei helfen. Vielen Dank im Voraus :)

Comments

Als Denkanstoß:

Alle möglichen Kombinationen, ohne Wiederholung, ohne Beachtung der Reihenfolge:

(7 über 5) = 21
21/7 = 3

---

Aber verstehe ich daran noch nicht das Schubfachprinzip. Also warum ist es so, dass mindestens 3 Eier in 2 Farben übereinstimmen? Ich weiß, dass es 10 Farbenpaare gibt und 21 Farbenpaare insgesamt verteilt werden auf die sieben Eier...

---

Ist das nicht intuitiv schon als richtig zu verstehen? Ich kann das schwer erklären, für mich wirkt das Prinzip ziemlich selbsterklärend...

---

Könnte man das denn so erklären, dass nach vier Eiern bereits jedes Farbenpaar gebraucht wurde und die restlichen 3 Eier somit die gleichen Farbenpaare aufweisen?

Ich stehe irgendwie total am Schlauch...

---

rot, grün, blau, gelb und orange.

rot, grün, blau, gelb, orange,_____,_______, _____

Du verstehst aber warum, oder?

---

rot grün blau

Gelb orange rot

Grün blau gelb..

So würde es ja weiter gehen?

Ich habe für die Farben Zahlen benutzt.

Und würde es so aufteilen:

123
451
254
351
243
124

352

Warum gibt es immer 3? Ich glaube ich habe zu viel darüber nachgedacht...

Answer 1

"Verteilt man \(n\) Objekte auf \(k\) Mengen \((n,k>0)\), so gibt es mindestens eine Menge, in der sich zumindest \(\lceil \frac { n } { k } \rceil \) Objekte befinden (dabei bedeutet \(\lceil \frac { n } { k } \rceil \) die kleinste ganze Zahl, welche größer oder gleich \(\frac{n}{k}\) ist)."

Wir haben also die Rechnung:$$\Longrightarrow \quad  \frac{\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}}{7} = 3$$