Aufgabe:
Ein Schokoweihnachtsmann mit der Masse m wird an eine Feder befestigt und die Feder wird um
die Strecke s ausgelenkt. Nach den Gesetzen der Physik wirkt eine Kraft der Größe F = −Ds
auf den Schokoweihnachtsmann, der eine Beschleunigung von s'' =F/m
erfährt. Es gelte also für alle t ∈ R, dass
s''(t) + ω^2 s(t) = 0,
wobei s : R → R eine zweimal differenzierbare Funktion und ω =würzel von D/M > 0 eine feste Zahl ist.
a) Wie heißt der griechische Buchstabe ω?
b) Wir nehmen zunächst an, dass s(0) = s'(0) = 0. Bestimmen Sie die Ableitung der Funk-
tion g(t) = (s'(t))^2 + (ωs(t))^2
. Folgern Sie, dass g(t) = 0 und damit s(t) = 0 für alle t ∈ R
ist.
c) Nun seien s(0), s'(0) ∈ R beliebig. Wenden Sie das Ergebnis aus b) auf die Funktion
h(t) = s(t) − s(0)* cos(ωt) − (s'(0)/ω)*sin(ωt)
an und folgern Sie, dass
s(t) = s(0)*cos(ωt) +( s'(0)/ω)*sin(ωt)
für alle t ∈ R ist.
Übrigens (nicht wichtig für die Aufgabe): Wenn Sie das Ergebnis aus c) auf die Funktion
f(t) = sin(t + u) bzw. f(t) = cos(t + u) anwenden, folgt, dass
sin(t + u) = sin(t) cos(u) + cos(t) sin(u)
bzw. cos(t + u) = cos(t) cos(u) − sin(t) sin(u)
für alle t, u ∈ R ist.
Problem/Ansatz:
Hat jemand Idee, wie man diese Aufgabe lösen kann ?!
Frohes neues Jahr
