Zeigen Sie, dass die Gleichung z^3 + 4z − x^2 + xy^2 + 8y − 7 = 0 mit x,y in R nur eine Nullstelle hat

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Gleichung
z^3 + 4z − x^2 + xy^2 + 8y − 7 = 0
für jedes (x, y) ∈ R^2 genau eine Lösung z = f(x, y) besitzt und untersuchen Sie f auf lokale Extrema.

Problem/Ansatz:

Also ich habe mir ein paar Sachen hier angeschaut:

die ableitung der oben genannten funktion, die ich jetzt g(z) nenne, mit x und y als zwei beliebige konstanten in R^2

ist 3z^2+4

3z^2+4 steigt (offensichtil) monoton in R.

Hier habe ich durch googlen irgendwas mit zwischenwertsatz gesehen, konnte aber bis jetzt nicht wirklich viel damit anfangen, da g(z)=0 nach z aufgelöst eine sehr merkwürdige Wurzelgleichung ergibt (mit wolfram berechnet):

Anzunehmen, dass f(x,y) die einzige nullstelle sei und entsprechend eine Polynomdivision mit z-f(x,y) auf g(z) durchzuführen gibt mir eine quadratische gleichung, mit rest in abhängigkeit von f(x,y), womit ich auch nix großartig anfangen konnte.

Bitte helft mir :C

Danke und LG

Comments

Da g streng monoton ist, gibt es höchstens eine Nullstelle. Außerdem ist g als Polynom dritten Grades auf ℝ nach oben und unten unbeschränkt. Es existieren also reelle Zahlen a und b mit g(a)<0 und g(b)>0. Der Zwischenwertsatz garantiert die Existenz mindestens einer Nullstelle. Damit ist die erste Aussage gezeigt.

---

Ok, die tatsache, dass die Ableitung streng monoton ist impliziert, dass es höchstens nullstelle gibt. Wenn ich mir das vorstelle, macht das auch sinn, da das steigungsverhalten in der ursprungsfunktion entsprechend links von der x koordinate der nullstelle der ableitung monoton steigt/fällt und rechts von der x koordinate der nullstelle der ableitung monoton fällt/steigt.

Die zweite Tatsache kann ich auch nachvollziehen, aber ich glaube nicht dass ich das einfach so behaupten kann. Die Aufgabe gibt unter anderem die größte Anzahl an punkten, also würd ich erwarten, dass genau diese Tatsache bewiesen werden soll oder so.

Keine ahnung, vielleicht bin ich zu paranoid :s

Answer 1

"mit x und y als zwei beliebige konstanten"

Das ist grundverkehrt.

x und y sind die Variablen der Funktion z=f(x,y).

Setze also zunächst mal die Ableitung von z nach x und die Ableitung von z nach y gleich Null.

Comments

Aber warum? Ich soll zeigen dass das für jedes x,y nur eine nullstelle hat. Dann kann doch x,y beliebig in R sein. Ausserdem wird in der Aufgabenstellung NICHT gesagt, dass die funktion

z3 + 4z − x2 + xy2 + 8y − 7

f heisst.

also nehm ich an, dass f(x,y) eine andere funktion ist. um genau zu sein ist f(x,y) genau die wurzelgleichung, die wolframalpha ausfgibt. Anders würde die aussage z = f(x,y) doch überhaupt keinen sinn machen.