Wahrscheinlichkeitrechnung

Question

Aufgabe:

Ein Prüfungstest enthält 36 Fragen mit je 2 Antwortmöglichkeiten, von denen genau 1 Antwort richtig ist. Wie viele richtig beantwortete Fragen muss man für ein positives Prüfungsergebnis verlangen, wenn die Wahrscheinlichkeit, bei rein zufälligem Ankreuzen durchzukommen, höchstens 0,02 sein soll?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen, diese Übung zu lösen? Ich denke es ist mit der Normalverteilung zu lösen, blicke aber die Idee, nicht durch, wie ich sie konkret anwenden soll. Vielen Dank!

Comments

Hi,

lass uns vorstellen, dass wir den Test jetzt wirklich schreiben, und alles raten:

dann würde ich 32 fragen mit einer 50% Wahrscheinlichkeit richtig beantworten.

Soweit verständlich.

Wenn du jetzt den Test korrigieren würdest, und du nimmst irgendwelche 2 Fragen, die der Schüler zufällig beantwortet hat. Wie hoch wäre die Wahrscheinlichkeit, dass BEIDE dieser Fragen richtig beantwortet wurden. Überleg dir das mal kurz, die Antwort kommt 3 Zeilen weiter

Erstmal, wie viele Möglichkeite gibt es hier überhaupt?

Es gibt genau 4 Möglichkeiten:

erste Frage richtig zweite falsch, erste falsch zweite richtig

beide falsch und beide richtig

Die Antwort ist also 50% hoch 2, oder (1/2)^2 also 25% oder 0.25, entsprechend bei 4 Möglichkeiten. Das ganze kannst du auch als 2^2 repräsentieren, wobei die basis die anzahl an optionen sind (in dem fall nur 2, da du nur 2 antwortmöglichkeiten pro frage hast) und der exponent wäre die anzahl an wiederholungen, bzw. in dem fall die anzahl an zu betrachtenden fragen.

Bei 3 Fragen kannst du dann direkt berechnen, dass es 8 möglichkeiten gibt, mit 2^3 (alles richtig, nur die erste richtig rest falsch, nur die zweite richtig rest falsch usw.)

Genau diese Logik können wir für deine Aufgabe verallgemeinern.

Du hast 32 Fragen und willst eine Anzahl an mindestens richtige Antworten festlegen, sodass die Wahrscheinlichkeit die mindestzahl zu erreichen 0.02 bzw. 2% ergibt.

Dafür kannst du die gleichung (1/2)^x = 0.02

nach x auflösen und das ergebnis nach oben runden, da wir ja keine halben fragen haben können oder ähnliches.

nach x auflösen:

(1/2)^x = 0.02

0.02 durch 1/50 ersetzen, (1/2)^x zu 2^(-x) umschreiben, da das ^(-x) bedeutet, dass wir den kehrwert von 2^x nehmen. und der kehrwert von 2^x ist (1/2)^x

2^(-x) = 1/50

wir wissen jetzt, dass  2^(-x)  = 1/50 ist, und durch das -x können wir

2^x = 50

du kannst hier auch etwas ablesen: es müssen mindestens 50 mögliche kombinationen aus richtig und falsch beantworteten fragen geben. Dann kannst du eigentlich schon erraten, welche ganze zahl für x eingesetzt werden muss, damit du über 50 möglichkeiten hast.

Aber rechnerich würdest du es so machen:

auf beiden seiten den ln rechnen:

x ln(2) = ln(50) | durch ln(2) teilen:

x = ln(50)/ln(2)

ergibt ungefähr x = 5.643

und das aufgerundet wäre 6

also wäre es sinnvoll, mindestens 6 richtige fragen zu verlangen, damit du durch raten nur mit einer wahrscheinlichkeit von höchstens 0.02 bestehst.

VG

LanPodder

Answer 1

Man könnte zunächst eine Abschätzung mit der Normalverteilung machen

μ = 36·0.5 = 18

σ = √(36·0.5·0.5) = 3

Φ(k) = 0.98 --> k = 2.053748890

K = 18 + 2.054*3 = 24.162

Ich erwarte also etwa 24 oder 25 richtige.

∑(COMB(36, x)·0.5^36, x, 24, 36) = 0.03262266761

∑(COMB(36, x)·0.5^36, x, 25, 36) = 0.01440835982

Man müsste mindestens 25 richtige Antworten verlangen.

Answer 2

Bionmialverteilung:

 Ein Experminet hat genau zwei Ergebnissens (Erfolg, Misserfolg). Wahrscheinlichkeit für Erfolg beträgt p. Es wird n mal durchgeführt. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Erfolge eintreten, ist

        B(k, n, p) = nCk · p^k · (1-p)^n-k.

Erwartungswert für die Anzahl der Erfolge ist

        μ = n·p,

Standardabweichung für die Anzahl der Erfolge ist

        σ = √(n·p·(1-p)).

Wahrscheinlichkeit für höchstens k Erfolge bekommt man durch Aufsummieren.

n = 36, p = 0,5

Gesucht ist das kleinste k, so dass

        ∑_i=1..k B(i, 36, 0,5) ≥ 1 - 0,02

ist.

Für die Binomialverteilung gelten näherungsweise die gleichen Sigma-Regeln wie für die Normalverteilung (falls σ≥3, Laplace-Bedingung). Verwende also die Normalverteilung um zu berechnen, wieviele Standardabweichungen du dich vom Erwartungswert entfernen musst. Bestimme daraus das k.