Aufgabe 6 Schreiben Sie mit Hilfe des Summenzeichens: Bsp. 1- 1/2 + 1/3 - 1/4 + -.... + 1/101

Question

Aufgabe 6 Schreiben Sie mit Hilfe des Summenzeichens:
(a) 1/2 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + 20/2^20

b) 1 + 3 + 5 +....   + 99

c) 1-  1/2  + 1/3 - 1/4 + -.... + 1/101

wie kommt man auf das summenzeichen was muss man sich ueberlegen?

Answer 1

∑ unter dem Zeichen schreibst du bei welcher Zahl du anfängst zu zählen. Oben schreibst du bis zu welcher Zahl die Rechnung erfolgt. Recht vom Zeichen schreibst du die Formel, aber Achtung du musst bedenken, dass die Zahl die unten steht Immer um eins erhöht wird

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a.)     20

         ∑  n/2^n

         n= 1

---

c.)    101

         ∑     1/n * ( -1^{n+1})

         n=1

Answer 2

(a) 1/2 + 2/2² + 3/2³ + ... + 20/2²⁰

∑ (k=1 bis 20) (k/2^k)

 

b) 1 + 3 + 5 +....   + 99

∑ (k=1 bis 50) (2·k - 1)

c) 1/1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + -.... + 1/101

∑ (k=1 bis 101) (-(-1)^k/k)

Answer 3

 

Du musst versuchen, innerhalb der Summen eine gewisse Regelmäßigkeit zu entdecken und diese dann formal hinzuschreiben. 

 

Als erstes natürlich: Wie viele Summanden haben wir?

(a) 20 Summanden

(b) 50 Summanden

(c) 101 Summanden

 

(a)

Hier geht der Zähler von 1 bis 20 und der Nenner von 2¹ bis 20²⁰

Dann kann man also schreiben 

²⁰∑_i=1 (i/2ⁱ) = 1/2¹ + 2/2² + 3/2³ + ... + 20/2²⁰

Vorne gehört die 20 natürlich über das Summenzeichen und das i=1 unter das Summenzeichen. 

 

(b)

⁵⁰∑_i=1 (2*i-1) = 2*1 - 1 + 2*2 - 1 + 2*3 - 1 + ... + 2*50 - 1 = 1 + 3 + 5 + ... + 99

 

(c)

¹⁰¹∑_i=1 (-1/i*((-1)ⁱ)) = -1/(-1) + (-1/2*((-1)²)) + (-1/3*((-1)³)) + ... + (-1/101*((-1)¹⁰¹) = 1 - 1/2 + 1/3 - ... + 1/101

 

Besten Gruß