aufgabe: Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar

Question

Sei A = ( a b
c d ) eine reelle 2 × 2-Matrix. Zeigen Sie, dass A
diagonalisierbar aber keine Skalarmatrix ist genau dann, wenn
(a − d)
2 + 4bc > 0
gilt. Geben Sie dafur eine Formel f ur die Eigenwerte λ ∈ K an. Benutzen Sie
dabei die Diskriminante ∆ des charakteristischen Polynoms χA(T).

Answer 1

det ( A - x*E) = x^2 - (a+d) x  + ad-bc

Das gleich 0 gesetzt hat genau 2 Lösungen, wenn die

Diskriminante größer 0 , also

(a+d)^2 - 4(ad-bc) > 0

<=> a^2 + 2ad + d^2 - 4ad + 4bc > 0

<=>  a^2 - 2ad + d^2  + 4bc > 0

<=>  (a - d) ^2  + 4bc > 0       q.e.d.