Sei A ∈ Matn(K) eine Matrix und
σ(A) = {λ ∈ K | ∃a ∈ V mit a ≠ 0 und f(a) = λa}
ihr Spektrum, also die Menge der Eigenwerte.
(i) Es gilt A ∈ GLn(K) genau dann, wenn λ = 0 kein Eigenwert ist.
Denke, das stimmt:
0 kein Eigenwert <==> Es gibt kein v≠0 mit A*v=0
<==> Kern(A) = {0} <==> A invertierbar <==> A ∈ GLn(K)
(ii) Die Summe a + b von zwei Eigenvektoren a, b ∈ Kn
ist ein Eigenvektor.
Das gilt wohl nur für Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert; denn für
A = 2 0
0 5 gilt z.B.
1
0
und
0
1
sind beides Eigenvektoren, aber die Summe nicht.
(iii) Sind λ, µ Eigenwerte von A, so ist das Produkt λµ Eigenwert von A^2
Gegenbeispiel aus (ii). 2 und 5 sind Eigenwerte von A.
Aber A^2 hat nur die Eigenwerte 4 und 25 und nicht etwa 10..
(iv) Ist A invertierbar und diagonalisierbar, so ist auch A−1 diagonalisierbar.
Heißt es A^(-1) , dann stimmt es :
A diagonalisiertbar ==> Es gibt S,T ∈GLn(K) und eine Diagonalmatrix D mit
S * A * T = D
==> S * A = D * T^(-1)
==> S = D * T^(-1) * A^(-1)
und D^(-1) ist wegen S * A * T = D auch in GLn(K) , also
==> D^(-1) * S = T^(-1) * A^(-1)
==> D^(-1) = T^(-1) * A^(-1) * S^(-1)
und D^(-1) ist auch eine Diagonalmatrix.
(v) Aus der Bedingung A^n = 0, n ≥ 1 folgt die Gleichheit σ(A) = {0}.
Sei m das kleinste n mit dieser Eigenschaft, dann folgt aus
A^m = 0 zunächst mal: Für alle v ∈ V gilt A^m * v = 0 ,
und wegen der Minimalität ist w = A^(n-1)*v ≠ 0,
also w ein Eigenvektor zum Eigenwert 0. Also 0 ∈ σ(A) . #
Sei nun k irgendein Eigenwert von A, dann gibt es v≠0 mit A*v=k*v
Dann ist A^2*v = A*(A*v))=A*(k*v) = k*(A*v) = k*(k*v) = k^2*v etc.
Also A^n *v = k^n * v und wegen v≠0 also k^n = 0 also k=0.
Also hat A nur 0 als Eigenwert und damit σ(A) ⊆ {0}. Zusammen mit
# also Gleichheit.