Determinante Matrizen und Mengen

Question

Aufgabe:

Sei G2 die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen A mit det A = 1.

Zeigen oder widerlegen Sie, dass G1 = G2 gilt.

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand helfen, weil ich diese Aufgabe nicht verstehe.

(G1 war eine Aufgabe davor, indem ich muss ob G1 eine Gruppe bildet, die ich habe.)

Answer 1

Es ist G1 = G2; denn :

Sei A ∈ G1 .  Allgemein gilt für

$$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ immer  #

$$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

wegen  det(A)=1 ist also A^(-1) auch ganzzahlig und wegen

1 > 0 ist det(A) > 0. Also A∈ G2.

Sei umgekehrt  A∈ G2 , also A^(-1) ganzzahlig.

Wegen # ist also det(A) ein gemeinsamer Teiler von a,b,c,d.

und laut Vor. det(A) > 0 .

Wäre der gemeinsame Teiler ein t größer als 1,   ##

dann gäbe es u,v,w,x ganzzahlig mit

$$A=\begin{pmatrix} t*u & t*v \\ t*w& t*x \end{pmatrix}$$

und damit det(A) = t*u*t*x - t*v*tw = t^2 * (u*x-v*w)

                         = t^2 * det(A)

Und wegen det(A) > 0 also  t^2 = 1 im Widerspruch zu ##.

Also ist det(A)=1.

Comments

Okay vielen Dank :)