Real-und Imaginärteil. Polardarstellung von (-3 + 3i)^10

Question

Geben Sie unter Benützung der Darstellung in Polarform den Real- und Imaginärteil folgender
Zahlen an:

(-3 + 3i)^10

Kanns sein, dass die Lösung hier 18^5 *i ist?? oder lieg ich völlig falsch?

Mein Problem ist jetzt auch zudem, dass ichs nicht unter Benützung der Darstellung in Polarform gemacht hab. wie würde das gehn?

Answer 1

hi

ich bekomme -18⁵i raus.

z = -3 + 3i

|-3 + 3i| = √(3² + (-3)²) = √18

φ = 180° - arc tan(|-3/3|) = 180° - arc tan(1) = 180° - 45° =  135°

z = |z|e^iφ = √18e^i135°

z¹⁰ = (√18e^i135°)¹⁰ = (√18)¹⁰(e^i135°)¹⁰ = 18⁵e^i1350° = 18⁵(cos(1350°) + i sin(1350°))

= 18⁵( 0 + i(-1)) = - 18⁵i

gruß

Comments

Vielen Dank für die mühe! Wie kommt man auf das 180-arc tan ?

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gern geschehen!

wie man auf den winkel kommt ist ganz einfach: zeichne dir doch mal z = -3 + 3i in der gaußschen zahlenebene auf. dann stellst du fest, dass sich z im zweiten quadranten befindet und das der winkel arc tan(|3/-3|) = arc tan(1) = 45° nur ein hilfswinkel ist und das man den 'richtigen' winkel mit φ = 180° - 45° = 135° bekommt.