Bestimmen Sie alle Vektoren, die zu den Vektoren a und zu b orthogonal sind

Question

Bestimmen Sie alle Vektoren ,die zu \( \vec{a} \) und zu \( \vec{b} \) orthogonal sind

\( \vec{a} \)  = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}    , \( \vec{b} \)   = \( \begin{pmatrix} 2\\0\\3 \end{pmatrix} \)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie bestimmt man alle Vektoren die zu a und b orthogonal sind?

Stichworte: vektoren,orthogonal,funktion

Wie bestimmt man bei dieser Aufgabe , dass alle Vektoren , die zu a und b orthogonal sind ? Vielen Dank !!!!

Die Aufgabe sollte mit dem GTR (Taschenrechner) gelöst werden

1.

→   ( 1          →   ( 2

a  =   2      ,    b =   0

         3)                   3)

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Wenn \(v=(x,y,z)^{\small\top}\) ein gesuchter Vektor ist, dann gilt \(a^{\small\top}v=b^{\small\top}v=0\), d.h.
(1)  \(x+2y+3z=0\)  &  (2)  \(2x+3z=0\). Löse das LGS.

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Weiß jemand vielleicht wie man diese Aufgabe mit dem mit dem GTR  ( Taschenrechner ) lösen kann !!!!!

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Welches GTR-Modell denn genau? Suche in der Gebrauchsanleitung unter Vektorprodukt oder Kreuzprodukt.

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie alle Vektoren, die zu a und b orthogonal sind

Stichworte: vektoren,orthogonal

bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter:

Bestimmen Sie alle Vektoren, die zu a= (1/2/3) und b= (2/0/3) orthogonal sind. (dabei sind a und b natürlich als Vektoren, nicht als Koordinaten geschrieben, ich weiß nur leider nicht wie das geht;))

Mein bisheriger Ansatz ist folgender:

gesucht ist der Vektor c mit (c₁/c₂/c₃)

da er orthogonal zu a und b sein soll, muss folgendes gelten:

1c₁+2c₂+3c₃ = 0

2c₁+0c₂+3c₃ = 0

nun habe ich aber zwei Gleichungen und drei Unbekannte - wie kann man das lösen? Und stimmt mein Ansatz bisher so überhaupt?

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie alle Vektoren, die zu a und b orthogonal sind.

Stichworte: vektoren,orthogonal

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Vektoren, die zu a und b orthogonal sind.

a = (1|2|3)

b = (2|0|3)

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand genau erklären, wie hier vorgegangen werden muss? Die Erklärung im Buch ist unzureichend und nicht verständlich.

Vielen Dank im Voraus!

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Ich weiß es nicht, ich hab mehrere Benachrichtigungen erhalten, aber ich finde keinen Button, der mich die Frage löschen/bearbeiten lässt

Answer 1

1·x + 2·y + 3·z = 0

2·x + 3·z = 0

Zu hast hier schon die Zeilenstufenform und kannst x oder z frei wählen

z = z

2·x + 3·z = 0 --> x = -1.5·z

1·(- 1.5·z) + 2·y + 3·z = 0 --> y = -0.75·z

Die Lösung ist also

[-1.5·z, -0.75·z, z] = k·[6, 3, -4] mit k ≠ 0

Etwas einfacher gehts mit dem Kreuzprodukt

[1, 2, 3] ⨯ [2, 0, 3] = [6, 3, -4]

Also sind alle Vektoren k·[6, 3, -4] mit k ≠ 0 senkrecht.

Comments

Aber wenn man es nicht mit dem Kreuzprodukt löst (hatten das noch nicht im Unterricht), warum multipliziert man das Ergebnis dann trotzdem mit -4 sodass ebent (6,3,-4) rauskommt??

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Man macht das so, das möglichst kleine ganzzahlige Koordinaten für die Vektoren herauskommen. Weil das Zahlen sind mit denen man später relativ einfach rechnen kann.

Das ist also der gleiche Grund warum man Brüche auch immer so angibt das Zähler und Nenner möglichst kleine ganzzahlige Werte sind.

und kleine meint hier betragsmäßig klein.

Answer 2

Mit dem Vektorprodukt \(\vec{a}\times \vec{b}\) resultiert der Vektor {6,3,-4}.

Da Vielfache dieses Vektors auch normal auf \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) stehen, setzen wir einen Parameter vor den Vektor.

Somit sind alle Vektoren mit a*{6,3,-4} orthogonal.

Comments

Welche fundamentale Neuigkeit wolltest du 18 Monate nach der Antwort von Mathecoach eigentlich verkünden?

Natürlich hast du mit dem Nullvektor (a = 0) - im Gegensatz zu k ≠ 0 bei MC (er redet von "senkrecht"!) - nach Definition von "orthogonal" recht. Warum schreibst du das dann nicht einfach?

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Welche fundamentale Neuigkeit wolltest du 18 Monate nach der Antwort von Mathecoach eigentlich verkünden?

Das sind die Resultate von völlig unsinnigen Threadzusammenführungen! Das sollte sofort abgestellt werden!

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@Wolfgang Lu hat die Fragen zusammengefügt; ich gebe keine Antworten auf bereits beantwortete Fragen von vor 106 Tagen.

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Dann sollte ich mich wohl bei dir entschuldigen :-)

Answer 3

Das sind alle Vektoren \( \vec{x} \) mit \( \vec{x} = \lambda \ \vec{a} \times\vec{b} \) mit \( \lambda \in \mathbb{R} \)

Comments

Wie geht man bei der Aufgabe denn rechnerisch schritt für schritt vor ?

!!!

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Weist Du wie das Kreuzprodukt berechnet wird? Wenn nein, siehe hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

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Entschuldigung , ich weiß was ein Kreuzrodukt ist , jedoch wüsste ich gerne wie das mit dem GTR  ( Taschenrechner ) funktioniert !!!!!

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Das sind doch nur Multiplikationen und Additonen pro Komponente. Wo ist das Problem?

Answer 4

Dein Ansatz ist ok. Allerdings bist du schneller, wenn du das Vektorprodukt ( auch Kreuzprodukt genannt) verwendest. Danach einfach das Resultat noch mit einem Parameter als Faktor versehen, da es unendlich viele (zueinander parallele) Vektoren gibt, die auf a und b senkrecht stehen.  

Zurück deinem Ansatz. Du kannst, weil es die erwähnten unendlich vielen Lösungen gibt, eine Koordinate des gesuchten Vektors beliebig wählen. Dann die andern beiden Koordinaten ausrechnen und zum Schluss eben auch einen Parameter hinzufügen.

Answer 5

Der Vektor (6|3|-4) [als Spalte] hat mit a und b das Skalarprodukt  0.

Comments

wie bist du darauf gekommen ?

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Ichhabe das sogenannte Vektorprodukt berechnet. Wenn ihr das noch nicht gehabt habt, kann man es auch so machen:

Man sucht einen Vektor (a|b|c) mit

(1|2|3)· (a|b|c)=0  und (2|0|3)· (a|b|c)=0

Die Skalarmultiplikation ergibt die Gleichungen:

(1) a+2b+3c=0

(2) 2a+3c=0

Darin darf eine Unbekannte frei festgelegt werden, sagen wir a=6. Dies in (2) eingesetzt, ergibt c=-4.  a und c in (1) eingesetzt, ergibt b=3.

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Skalarmultiplikation  ist doch das gleiche wie Sklarprodukt ?  In der Aufgabe steht bestimmen Sie alle Vektoren . Muss ich noch was anderes machen außer deine Rechnung ? 

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Drücke mit Hilfe dieser beiden Gleichungen

(1) a+2b+3c=0
(2) 2a+3c=0

alle Komponenten durch c aus:

a=-3/2c

b=-3/4c

c=1c

Die Menge aller orthogonalen Vektoren ist dann

(-3/3|-3/4|1)·c für alle reellen Zahlen c.

Für c=-4 kommt z.B. (6|3|-4) heraus.

Answer 6

TI:

unbekannten Vektor n:= (n1/n2/n3) definieren, dieser soll orthogonal zu beiden Vektoren sein.

beide Punkte a und b definieren.

Solve(dotp(a,n)=0 and dotp(b,n)=0,n)

die Gleichung wir nun nach n gelöst, wobei dieser Vektor abhängig von einer Variablen c ist, da es unendlich viele orthogonale Vektoren gibt.

LG Jackie