Majorantenkriterium, Beiweise die Konvergenz der Reihen

Question

Begründe den Majorantenkriterium, dass diese folgenden Reihen konvergieren.

$$\begin{array}{l}{\sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty} \frac{1}{\mathrm{n}^{2}+\mathrm{n}}} \\ {\sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty} \frac{(-1)^{\mathrm{n}}}{2 \mathrm{n}^{6}}} \\ {\sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty} \frac{\mathrm{n}^{2}-1}{(\mathrm{n}+1)^{5}}} \\ {\sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty} \frac{\cos \left(\frac{\pi}{\mathrm{n}}\right)}{\mathrm{n}^{\mathrm{n}}}}\end{array}$$

Ich weiß nicht, ob dieser Tipp weiter hilft, aber man darf verwenden die Reihe \( \sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty} \frac{1}{\mathrm{n}^{2}} \) konvergiert.

Answer 1

ist zwar nicht mehr aktuell:

a)es gilt 1/(n^2+n)<1/(n^2+n^2)=1/2 *1/n^2 und diese Reihe konvergiert.

b) hier nimmt man eigentlich das Leibnitzkriterium, aber mit Majorantenkriterium geht es auch:

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{2n^6}}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{2(2k)^6}}-\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{2(2k-1)^6}}$$ und beide Reihen kannst du nun gegenüber 1/n^2 abschätzen

c) ähnlich zu a):(n^2-1)/(n+1)^5<n^2/(2n)^5=1/32 * n^2/n^5=1/32 1/n^3<1/32 1/n^2

d) |cos(pi/n)|<1, für hinreichend große n ist pi/n nahe an 0, daher cos(pi/n) nahe an 1, alos wenigstens nicht negativ. damit

cos(pi/n)/n^n <1/n^n und diese reihe konvergiert  nach dem Quotientenkriterium.