Gebrochenrationale Funktion mit Parameter - stetig hebbare Definitionsücke suchen?

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Wert des Parameters a so, dass die Definitionslücke der zugehörigen Funktion stetig hebbar ist.

\( f(x)=\frac{x^{2}+a x+3 a}{x-1} \)

\( a \in ℝ \)

Geben Sie für diesen Wert von a den Funktionsterm in möglichst einfacher Form an.

Answer 1

(x^2 + a·x + 3·a) : (x - 1) = x + (a + 1) + (4a + 1)/(x - 1)
x^2 - x
--------------------
(a + 1)x + 3a
(a + 1)x - a - 1
--------------------
4a + 1

Der Zähler vom Restterm müsste dann Null sein, damit der Restterm wegfällt.

4a + 1 = 0
a = -1/4

(x^2 + (- 1/4)·x + 3·(- 1/4))/(x - 1) = (4·x + 3)/4 = x + 3/4

Comments

Danke Der_Mathecoach :)


eine frage hätte ich da noch:

wieso muss ich gleich am Anfang eine Polynomdivision mit dem Nenner durchführen?

Um ehrlich zu sein, hätte ich einfach den Nenner gleich 1 gesetzt, denn 1 ist ja die Polstelle und nun muss im Zähler auch die 1 vorkommen damit wir eine hebbare Definitionslücke haben.
Kann also deinen Gedanken nicht ganz nachvollziehen. :)

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Stimmt. Das kannst du auch machen und das ist auch etwas einfacher:

Du müsstest also im Zahler für x=1 einsetzen und 0 heraus bekommen

1^2 + a·1 + 3·a = 0
a = - 1/4