Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems

y' = Ay + b(t) = $\begin{pmatrix} -3 & 4 & -3 \\ -1 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 5 \end{pmatrix}$ y + $\begin{pmatrix} t-1 \\ 2t-1 \\ t\end{pmatrix}$

indem Sie

a) eine Transformationsmatrix S bestimmen, sodass B = S^-1AS eine obere Dreiecksmatrix ist,

b) das Transformierte System x' = Bx + S^-1 b(t) durch Rückwertseinsetzen lösen und,

c) wieder auf das ursprüngliche System zurücktransformieren.

Problem/Ansatz:

Also bei der Aufgabe scheitere ich schon daran eine Matrix S zu finden, die die o.g. Bedingungen erfüllt.

Gibt es eine Möglichkeit solch eine Transformationsmatrix S nach einem gewissen Schema zu berechnen? Konnte dazu leider nichts finden.

Vielen Dank für jede Hilfe!

Comments

Ich habe die Matrix S mittlerweile aus den Eigenvektoren berechnen können.

Wie geht man nun jedoch vor?

Es wurde folgender Zusatz bereitgestellt: Hierbei bedeutet Rückwärtseinsetzen, dass man zunächst die DGL für x3 löst und anschließend in die Gleichung für x2 einsetzt. Die Lösung für x2 kann dann wiederum in die Gleichung für x1 eingesetzt werden.

Doch wie mache ich das nun konkret?