Gleichung der Polynomfunktion finden mit Hilfe von Symmetrien, parallele Tangent, Wendepunkt und y-Achsenabschnitt

Question

Aufgabe:
Bestimmen Sie die Gleichung der Polynomfunktion 4.Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist, in x1=1 eine zu g: 6x-3y+Wurzel(2) = 0 parallele Tangente hat, in x2= ((Wurzel 2) geteilt durch 2) einen Wendepunkt hat und die y-Achse beim Wert 4 schneidet.  

Ansatz:

Ich weiss, dass die Gerade g und die parallele Tangente dieselbe Steigung haben müssen und man dazu die 2.Ableitung braucht.

Ich weiss, dass die Polynomfunktion 4.Grades so aussehen muss:  f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e, da sie aber symmetrisch zur y-Achse ist, muss b und d = 0 sein. Daraus folgt: f(x)=ax⁴+cx²+e

Ich weiss, dass     f"(x)=0 & f'''(x) nicht=0    sein muss, damit es einen Wendepunkt hat.

Problem:

Mein Problem, ich habe nicht begriffen, wie ich  x1, x2 und den y-Achsenabschnitt 4 einfügen muss, damit ich die Gleichung der Polynomfunktion finde.

Answer 1

Also wenn du eine Achsensymmetrie hast, entfallen ja alle ungeraden Potenzen. Also suchst du die Funktion
\(f(x)=ax^4+cx^2+e\).

y-Achse beim Wert 4 schneidet

\(f(0)=4\)

\(\Rightarrow a\cdot 0^4 + c\cdot 0^2 +e=4 \Rightarrow e=4\)

in x2= ((Wurzel 2) geteilt durch 2) einen Wendepunkt hat

\(f''\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=0\)

\(\Rightarrow 12a\cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+2c=0 \Leftrightarrow 6a +  2c = 0\)

in x1=1 eine zu g: 6x-3y+Wurzel(2) = 0 parallele Tangente hat

\(f'(1)=2\)

\(\Rightarrow 4a\cdot 1^3+2c\cdot 1 =2 \Leftrightarrow 4 a + 2 c = 2\)

Jetzt hast du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:

\(I: 6a + 2 c = 0 \\II: 4 a + 2 c = 2 \)

\(\Rightarrow a=2, c=-3\)

Deine Funktionsgleichung lautet also \(f(x)=-x^4+3x^2+4\)

Comments

Vielen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort!

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Bitte.

Grundsätzlich brauchst du für ein Polynom n-ten Grades aber immer n+1 Bedingungen.