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Aufgabe:

Bei folgende Aufgaben soll mit Hilfe der Hospitalschem Regel der Grenzwert berechnet werden


Problem/Ansatz

f(x) = \( \frac{u(x) }{v(x) } \) =\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{u'(x) }{v'(x) } \)

Mein Problem ist dass ich nicht verstehe wie ich die Beispiele jetzt in diese Formel einsetze und wie das ganze bei nicht-Brüchen funktionieren soll. Danke, Jasmin

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Du musst vor allen Dingen immer die Voraussetzung prüfen:

Bei a) also:  Zähler und Nenner einzeln betrachtet gehen ( für A≠0 )

betragsmäßig gegen unendlich, also ist Hospital anwendbar.

( sozusagen der Typ    unendlich / unendlich )

Und man betrachtet den Bruch aus den beiden Ableitungen, hier also

           A / 1

Der hängt gar nicht mehr von x ab, hat also immer den Wert A und damit auch

für x gegen unendlich Grenzwert A.

b)  Für x gegen 0 gehen Zähler und Nenner gegen 0 , das ist der

   Ty p     0 / 0

Geht auch mit Hospital:   Bruch der Ableitungen ist

               ab*cos(x)   /   1

und für x gegen 0 geht cos gegen 1, also Grenzwert   ab.

c) Das ist der Typ   "1 hoch unendlich".

Da muss man etwas umformen um auf einen Bruch zu kommen.

     y =   cos(x) ^( 7/x^2)  gibt

        ln(y) =  (7/x^2)  * ln(cos(y))

              =   7*ln(cos(x))  /  x^2

Für x gegen 0 geht cos gegen 1 also ln(cos(x)) gegen 0 und *7 immer noch.

Der Nenner geht /auch gegen 0, also haben wir Typ 0 / 0 und wenden Hosp. an:

Bruch der Ableitungen ist   (  - sin(x) * 1 / cos(x)  )     /   2x

                                                    - tan(x)   /   2x

immer noch Typ   0 / 0 , also nochmal Hospital gibt

                  ( -  1/cos(x)^2  )     /     2

Das klappt: Grenzwert ist  -1 / 2.

Aber HALT:    Wir haben ja die ganze Zeit  ln(y) untersucht, aber wenn ln(y) gegen -1/2 geht,

dann geht y gegen   e^(-1/2) .   Das ist der gesuchte Grenzwert.

Versuche mal d)   [ Typ unendlich durch unendlich ] und bei

e)  forme um zu  tan(x)  /   ( 1 / ln(x) )

dann hast du wieder Typ 0 / 0 .

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siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital

a) Du hast hier unendlich /unendlich

->leitest Zähler und Nenner getrennt ab.

= lim(x->∞) (A/1) =A

usw.

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