Du musst vor allen Dingen immer die Voraussetzung prüfen:
Bei a) also: Zähler und Nenner einzeln betrachtet gehen ( für A≠0 )
betragsmäßig gegen unendlich, also ist Hospital anwendbar.
( sozusagen der Typ unendlich / unendlich )
Und man betrachtet den Bruch aus den beiden Ableitungen, hier also
A / 1
Der hängt gar nicht mehr von x ab, hat also immer den Wert A und damit auch
für x gegen unendlich Grenzwert A.
b) Für x gegen 0 gehen Zähler und Nenner gegen 0 , das ist der
Ty p 0 / 0
Geht auch mit Hospital: Bruch der Ableitungen ist
ab*cos(x) / 1
und für x gegen 0 geht cos gegen 1, also Grenzwert ab.
c) Das ist der Typ "1 hoch unendlich".
Da muss man etwas umformen um auf einen Bruch zu kommen.
y = cos(x) ^( 7/x^2) gibt
ln(y) = (7/x^2) * ln(cos(y))
= 7*ln(cos(x)) / x^2
Für x gegen 0 geht cos gegen 1 also ln(cos(x)) gegen 0 und *7 immer noch.
Der Nenner geht /auch gegen 0, also haben wir Typ 0 / 0 und wenden Hosp. an:
Bruch der Ableitungen ist ( - sin(x) * 1 / cos(x) ) / 2x
- tan(x) / 2x
immer noch Typ 0 / 0 , also nochmal Hospital gibt
( - 1/cos(x)^2 ) / 2
Das klappt: Grenzwert ist -1 / 2.
Aber HALT: Wir haben ja die ganze Zeit ln(y) untersucht, aber wenn ln(y) gegen -1/2 geht,
dann geht y gegen e^(-1/2) . Das ist der gesuchte Grenzwert.
Versuche mal d) [ Typ unendlich durch unendlich ] und bei
e) forme um zu tan(x) / ( 1 / ln(x) )
dann hast du wieder Typ 0 / 0 .
