Unterräume und Dimension

Question

Aufgabe:

Es sei V ein K-Vektorraum der Dimension 28

Es seien U₁ und U₂ Unterräume von V mit dim(U₁) = 10 , dim (U₂) = 16 und dim ( U₁ + U₂ ) = 19 .

Welche Dimension hat der Durchschnitt U₁ ∩ U₂ ?
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Es sei U ein Unterraum von V der Dimension 21 . Für den weiteren Unterraum W gelte V = U ⊕ W .

Welche Dimension hat W ?

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Es seien W₁ und W₂ Unterräume von V mit dim( W₁) = 11 und dim(W₂) = 7 .

Was ist die größtmögliche Dimension für deren Summe W₁ + W₂ ?

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Der Durchschnitt zweier verschiedener Unterräume von V der Dimension 20 hat mindestens die Dimension (............)

Comments

Gab es hierzu nicht gestern Abend einen Hinweis von az0815?

Möglich, dass das eine ähnliche Frage war. diese Frage sehen alle ungefähr gleich aus.

Answer 1

Es sei V ein K-Vektorraum der Dimension 28

Es seien U1 und U2 Unterräume von V mit dim(U1) = 10 , dim (U2) = 16 und dim ( U1 + U2 ) = 19 .

Welche Dimension hat der Durchschnitt U1 ∩ U2 ?

Bedenke  dim(U1) + dim (U2)  - dim( U1 ∩ U2)    =  dim ( U1 + U2 ) 
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Es sei U ein Unterraum von V der Dimension 21 . Für den weiteren Unterraum W gelte V = U ⊕ W .

V = U ⊕ W .==>   dim( V)  =dim( U)   +   dim (  W ). und setze die Zahlen ein.

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Es seien W1 und W2 Unterräume von V mit dim( W1) = 11 und dim(W2) = 7 .

Was ist die größtmögliche Dimension für deren Summe W1 + W2 ?

Weil dim(V) > 11+7 ist,   ist die Antwort     18

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Der Durchschnitt zweier verschiedener Unterräume von V der Dimension 20 hat mindestens die Dimension (.........)

Verwende auch hier     dim(U1) + dim (U2)  - dim( U1 ∩ U2)    =  dim ( U1 + U2 )

und bedenke     dim ( U1 + U2 )  ≤ dim(V).