alle Kurven mit konstantem Flächeninhalt bestimmen

Question

Bestimmen Sie alle Kurven im ℝ², die durch den Punkt (1,1) verlaufen und die folgende Eigenschaft besitzen:

Ist Q ein beliebiger Punkt auf der Kurve, T die Tangente an die Kurve im Punkt Q und P der Schnittpunkt von T mit der x-Achse, so ist der Flächeninhalt des Dreiecks PQO (O=(0,0)) unabhängig vom Punkt Q konstant.

Answer 1

An der Stelle [x, f(x)] muss die Tangente so sein, das das Produkt aus f(x) und Nullstelle der Tangente immer einen festen Wert ergibt.

a = f(x) * n
n = a/f(x)

(y - 0) / (x - a/y) = y'

Das ist eine Differnezialgleichung die ich mal mit Wolframalpha lösen lasse:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28y+-+0%29+%2F+%28x+-+a%2Fy%29+%3D+y%27

y = (x ± √(x^2 - 2·a·c))/(2·c)

Nun sollen die Kuven noch durch den Punkt (1, 1) gehen

1 = (1 ± √(1^2 - 2·a·c))/(2·c)
a = 2·(1 - c)

y = (x ± √(x^2 - 4·(1 - c)·c))/(2·c)
y = (x ± √(x^2 - 4·c + 4·c^2))/(2·c)

Comments

Wie kommst du auf (y - 0) / (x - a/y) = y' ?
Benutzt du da die Tangentengleichung y=y'x+n? Dann müsste es doch aber y'=(y-n)/x sein, also

y' = (y - a/y) / x

oder?...

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Achtung. n ist hier eine Nullstelle und nicht der y-Achsenabschnitt.