Kurvendiskussion gebrochenrationale Funktion f(x)=((x^2 - 1)·(x + 2)·(x + 1)) / ((x - 1)·(4 + 2·x)·(x - 2))

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= \( \frac{(x^2-1)(x+2)(x+1)}{(x-1)(4+2x)(x-2)} \)

Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Lücken, Polstellen. Geben Sie den
Definitions- und Wertebereich sowie das Verhalten für IxI --> ∞ an. Skizzieren Sie
den Verlauf der Funktion.

Problem/Ansatz:

Das ist eine Beispiel Klausuraufgabe für gebrochen Rationale Funktionen die sich oft wiederholt aber halt mit anderen werten.

ich finde leider kein Video oder anderes das mir das so gut erklärt wie die Lösungen bei Mathelounge.

Bräuchte einmal einen Kompletten Lösungsweg als Grundbaustein.

Danke

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Überschrift angepasst !

Answer 1

f(x) = (x^2 - 1)·(x + 2)·(x + 1) / ((x - 1)·(4 + 2·x)·(x - 2)) = (x + 2)·(x + 1)·(x + 1)·(x - 1) / (2·(x + 2)·(x - 1)·(x - 2))

Nullstellen des Zählers ablesbar bei: -2 ; -1 (2-fach) ; 1

Nullstellen des Nenners ablesbar bei: -2 ; 1 ; 2

Nullstellen im Zähler und Nenner sind hebbare Definitionslücken. Die sind also bei -2 und 1

Funktion bei der die Definitionslücken behoben wurden.

f(x) = (x + 1)·(x + 1) / (2·(x - 2)) = 1/2·x + 2 + 9/(2·(x - 2))

Nullstellen des Zählers bei denen der Nenner ungleich Null ist sind die Nullstellen der Funktion. Das ist hier sogar eine doppelte Nullstelle bei x = -1 also ein Hoch oder Tiefpunkt der auf der x-Achse liegt.

Nullstellen des Nenners bei denen der Zähler ungleich Null sind die Polstellen. Hier haben wir eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 2.

Verhalten im Unendlichen wie bei y = 1/2·x + 2 

lim (x → -∞) f(x) = -∞

lim (x → ∞) f(x) = ∞

Definitionsberech ist ganz R ohne Nullstellen des Nenners.

D = R \ {-2 ; 1 ; 2}

Für den Wertebereich löse ich die Funktionsgleichung nach x auf.

x = y - 1 ± √(y·(y - 6))

Wertebereich ist ganz R ohne die Werte an denen der Radikant negativ wird.

y·(y - 6) < 0 --> 0 < y < 6

W = R \ ]0 ; 6[

Achtung hier wären eventuell noch Definitionslücken zu beachten. Das brauche ich hier nur nicht machen.

Am besten macht man noch das Verhalten an den Polstellen und berechnet auch Hoch- Tiefpunkte. Das sollte man fürs skizzieren eh tun und erleichtert auch die Erkennung des Wertebereiches.

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Hallo Mathecoach.

ich habe soweit alles Verstanden nur wie kann ich herausfinden wie ich die Lücken beheben kann?

In den Lösungen steht

Lücken
bei 1 (hebbar durch (-2) ) und bei (-2) (hebbar durch
-\( \frac{1}{8} \) );

Was muss ich machen um auf diese Werte zum beheben der Lücke zu kommen ich finde weder etwas im Papula noch im Internet.

---

Du kürzt einfach die identischen linearfaktoren im Zähler und Nenner.

f(x) = (x + 2)·(x + 1)·(x + 1)·(x - 1) / (2·(x + 2)·(x - 1)·(x - 2))

f(x) = (x + 1)·(x + 1) / (2·(x - 2))

Siehst du das jetzt ?

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Super Danke jetzt kann ich die komplette Aufgabe. Nur noch bisschen Üben.

Answer 2

Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Lücken, Polstellen. Geben Sie den
Definitions- und Wertebereich sowie das Verhalten für IxI --> ∞ an. Skizzieren Sie
den Verlauf der Funktion.

f(x)= \( \frac{(x^2-1)(x+2)(x+1)}{(x-1)(4+2x)(x-2)} \)

Am besten erst Mal möglichst viele Linearfaktoren herstellen, etwa

so

f(x)= \( \frac{(x-1)(x+1)(x+2)(x+1)}{2(x-1)(2+x)(x-2)} \)

Definitionsbreich sind alle reellen Zahlen außer den Nullstellen des Nenners,

also hier D = ℝ \  {1;-2;2}.

Lücken sind da, wo Zähler und Nenner gemeinsame Linearfaktoren haben,

also bei x=1 und x=-2,

Die restlichen Nullstellen des Nenners sind Polstellen ( hier also bei x=2) und die des Zählers

sind Nullstellen also bei x=-1.

Dann kann man diese Faktoren kürzen und hast

f(x)= \( \frac{(x+1)(x+1)}{2(x-2)} \)

Für x gegen +∞ gehen Zähjler und Nenner gegen ∞, allerdings

der Zähler (quadratisch) stärker als der Nenner, also Grenzwert ∞.

Für x gegen -∞ entsprechend (Nenner negativ) Grenzwert - ∞.

Wertebereich erkennst du am besten nach der Skizze, die etwa

so aussieht

~plot~ (x+1)(x+1)/(2(x-2)); [[-6|8|-10|10]] ~plot~

Also kommen als Funktionswerte heraus  W = ℝ \ ] 0;6[.

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Hallo mathef, auch für sie 

ich habe soweit alles Verstanden nur wie kann ich herausfinden wie ich die Lücken beheben kann?

In den Lösungen steht

Lücken
bei 1 (hebbar durch (-2) ) und bei (-2) (hebbar durch
-\( \frac{1}{8} \) );

Was muss ich machen um auf diese Werte zum beheben der Lücke zu kommen ich finde weder etwas im Papula noch im Internet.

Danke.

Answer 3

Zunächst Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen:

[(x+1)·(x-1)·(x+2)·(x+1]/[(x-1)·2·(x+2)·(x-2)]

Kürzbare Faktoren sind (x-1) und (x+2). Deshalb sind bei x=1 und bei x=-2 hebbare Definitionslücken. Kürzen:

[(x+1)·(x+1]/[·2·(x-2)]

Für weitere Eigenschaften des Graphen ist nur noch der gekürzte Termzu betrachten. Nullstellen des Zählers sind Nullstellen der Funktion: x_N=-1 (doppelt). Nullstelle des Nenners ist Polstelle x_p=2.

Da die Polynomdivision das Ergebnis x/2+2+9/(2x-4) hat, ist g(x)=x/2+2 Asyptote für x→±∞.

Mit diesen Angaben lässt sich der Graph zeichnen